第2章 §6 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b cos A＋a cos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．7.5 解析：选A．由余弦定理，得b·＋a·＝c2，故c＝1(c＝0舍去)，即△ABC的周长为5.故选A． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．因为3sin A＝5sin B，由正弦定理得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a, 所以c＝a，所以由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，所以C＝.故选C． 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(b－c)sin B＋c sin C＝a sin A，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC面积的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：选B．因为(b－c)sin B＋c sin C＝a sin A， 所以b2－bc＋c2＝a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以cos A＝.又A∈(0，π)，所以A＝. 因为b cos C＋c cos B＝2， 所以b·＋c·＝2， 所以a＝2. 由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号， 则S△ABC＝bc sin A＝bc≤， 所以△ABC面积的最大值为.故选B． 4．如图，在平面四边形ABCD中，CD＝，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，B＝60°，△ABC的面积为，则AB＋BC＝(　　) A．3 B．4 C．2＋ D．2 解析：选B．在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝30°， 由正弦定理有＝，即＝，解得AC＝2.由三角形的面积公式有 S△ABC＝AB·BC sin B＝， 则AB·BC＝4. 在△ABC中，由余弦定理有 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B， 即4＝AB2＋BC2－4，故AB2＋BC2＝8. 则AB2＋BC2＋2AB·BC＝(AB＋BC)2＝16，解得AB＋BC＝4.故选B． 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则△ABC不可能为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：选BD．由cos A＝以及<cos A，得<，即a2＋c2<b2，则cos B＝<0，又B∈(0，π)，所以角B为钝角，故△ABC为钝角三角形．又a与c的大小不确定，所以△ABC也可能是等腰三角形，但不可能是直角三角形和等边三角形．故选BD． 6．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c＝＋1，则下列说法正确的是(　　) A．C＝75°或C＝105° B．B＝45° C．a＝ D．该三角形的面积为 解析：选BC．由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋4＋2－2×2×(＋1)×＝6，所以a＝，故C正确；由正弦定理得，sin B＝＝＝.又0°<B<120°，所以B＝45°，所以C＝180°－B－A＝75°，故A错误，B正确；S△ABC＝bc sin A＝×2×(＋1)×＝，故D错误．故选BC． 7．在△ABC中，B＝，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD＝________． 解析：在△ABC中，B＝，且AB＝1，BC＝4，所以BD＝2，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝1＋4－2×1×2×＝3，则AD＝. 答案： 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，sin A sin B＋sin A sin C＝sin B sin C，则b＋c的最小值为________． 解析：因为sin A sin B＋sin A sin C＝sin B sin C，由正弦定理得ab＋ac＝bc， 因为a＝2，所以2b＋2c＝bc，即＋＝1， 则b＋c＝(b＋c)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即c＝b＝4时等号成立，即b＋c的最小值为8. 答案：8 9．已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，则tan C＝__________． 解析：由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sinB，所以a2－c2＝(a－b)b，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.因为0<C<π，所以C＝，所以tan C＝1. 答案：1 10．(13分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，A＝. (1)求b的最大值；(6分) (2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形．(7分) 解：(1)根据正弦定理＝，得＝，即b＝2sin B，显然当B＝时，b有最大值2. (2)证明：因为△ABC的面积为， 所以bc sin A＝，即bc＝2，① 由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即3＝(b＋c)2－2bc－bc， 则b＋c＝＝3，② 所以由①②可得或 当时，c2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形； 当时，b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形． 综上所述，△ABC是直角三角形． 11．(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由正弦定理得sin A sin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sinA sin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sinA sin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝sin A sin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝. 12．(多选)定义运算＝mn－pq.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足＝0，则下列结论正确的是(　　) A．sin A＋sin C＝2sin B B．A∶C＝1∶2 C．B的最大值为 D．若a sin A＝4c sin C，则△ABC为钝角三角形 解析：选ACD．由＝0，可得(a＋b＋c)－3(a＋c－b)＝0，整理可得a＋c＝2b，由正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B，故A正确；因为当A＝B＝C＝时，满足a＋c＝2b，但不满足A∶C＝1∶2，故B不正确；cos B＝＝＝≥＝＝(当且仅当a＝c时等号成立)，又0<B<π，所以B的最大值为，故C正确； 由a sin A＝4c sin C，可得a2＝4c2，即a＝2c，又a＋c＝2b，所以c＝b，a＝b，则a为最大边，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－<0，又A∈(0，π)，所以A为钝角，△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ACD． 13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________． 解析：因为＝＝4，B＝，所以b2＝5ac.则由正弦定理，得sin2B＝5sinA sin C＝，所以sin A sin C＝，所以＝＝＝. 答案： 14．(13分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知＝. (1)求A；(6分) (2)若a＝，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．(7分) 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得，＝， 因为＝， 所以＝， 化简得，b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos A＝＝， 又因为0<A<π，所以A＝. (2)由S△ABC＝bc sin A＝bc＝， 得bc＝6，由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得7＝b2＋c2－6，所以b2＋c2＝13， 所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝25， 所以b＋c＝5， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋. 15．(15分)如图，在平面五边形ABCDE中，已知A＝120°，B＝90°，C＝120°，E＝90°，AB＝3，AE＝3. (1)当BC＝时，求DC的长；(7分) (2)当五边形ABCDE的面积S∈[6，9)时，求BC的取值范围．(8分) 解：(1)如图，连接EB，在△ABE中，A＝120°， AB＝AE＝3，由余弦定理可得，BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB·cos 120°＝9＋9－2×3×3×(－)＝27，所以BE＝3， 同时可得∠AEB＝∠ABE＝30°， 所以∠CBE＝∠DEB＝60°，所以∠BCD＋∠CBE＝180°，所以BE∥CD， 所以四边形BCDE为等腰梯形．过点C作CM⊥BE于点M，所以BM＝BC·cos 60°＝， 所以DC＝BE－2BM＝3－2×＝. (2)S△BAE＝AB·AE·sin 120°＝×3×3×＝，又S∈[6，9)， 所以S梯形BCDE∈， 设BC的长为x(x>0)，所以BM＝BC·cos 60°＝x，CM＝BC·sin 60°＝x， 则S梯形BCDE＝(BE＋CD)·CM＝(3＋3－x)·x＝， 则≤<， 化简整理得15≤6x－x2<27， 解得≤x<3或3<x≤5， 又DC＝BE－2BM＝3－x>0，所以x<3，所以BC的取值范围是[，3). 学科网（北京）股份有限公司 $