第2章 §5 5.2 5.3 利用数量积计算长度与角度（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标表示及利用数量积计算长度与角度核心知识点，在已学向量数量积性质及坐标运算基础上，构建从几何定义到代数运算的学习支架，帮助学生实现知识迁移。 该资料通过“思考”引导推导数量积坐标公式，培养数学思维中的推理能力，结合例4用坐标法证明DP⊥EF等实例，提升数学语言表达能力。知识梳理表格清晰呈现结论，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

5．2　向量数量积的坐标表示 5．3　利用数量积计算长度与角度 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 1.能够推导出两个向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用． 3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度、角度、垂直等问题． 一　平面向量数量积的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， 所以a·b＝x1x2＋y1y2. [知识梳理] 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 [例1] (1)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 (2)在四边形ABCD中，＝2，且AD＝CD＝1，AD⊥CD，则·＝________． 【解析】　(1)因为a＝(0，1)，b＝(1，0)，所以a－b＝(－1，1)， 所以a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1. (2)如图，建立平面直角坐标系，由题意可知，AD＝DC＝1，BC＝2， 则B(－2，0)，A(－1，1)，D(0，1)，＝(1，1)，＝(2，1)， 所以·＝1×2＋1×1＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 (1)进行向量数量积的坐标运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． [跟踪训练1] (1)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C．由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C． (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝__________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2)，E(2，1)， D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 因为＝2， 所以F. 所以＝(2，1)，＝－(2，0)＝， 所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝. 答案： 二　向量模的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若向量a＝(x，y)，借助于公式|a|＝＝，如何用坐标表示|a|? 提示：|a|＝＝＝＝. [知识梳理] 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝ 表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝ [例2] (1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知，均为单位向量，且＋2＝(1，1)，则||＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)由题知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，所以a－2b＝(－3，－4)，所以|a－2b|＝5，故选D． (2)因为＋2＝(1，1)，所以(＋2)2＝2，所以||2＋4||2＋4·＝2.因为向量，均为单位向量，所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－，所以||＝|－|＝＝＝. 【答案】　(1)D　(2)C 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. [跟踪训练2] (1)已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 解析：选C．由题知||＝＝，||＝＝，||＝＝＝2，所以||＝||，且||2＋||2＝||2，因此△ABC为等腰直角三角形． (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________． 解析：因为a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，y＝1，所以a＝(2，1)，则a－2b＝(4，－3)，故|a－2b|＝＝5. 答案：5 三　平面向量夹角与垂直的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？ 提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0. [知识梳理] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2， cos θ＝＝(|a||b|≠0). 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [例3] (1)已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，1)，若(a－λb)⊥(a＋2b)，则λ＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－ (2)(对接教材例3)已知向量a，b满足a＋2b＝(3，1)，2a－3b＝(－1，2)，则a与b的夹角为__________． 【解析】　(1)方法一：因为(a－λb)⊥(a＋2b)，所以(a－λb)·(a＋2b)＝a2＋(2－λ)a·b－2λb2＝0，a2＝4，b2＝2，a·b＝－2， 故4－2(2－λ)－4λ＝－2λ＝0，解得λ＝0. 方法二：因为a－λb＝(－λ，－2－λ)，a＋2b＝(2，0)， 由(a－λb)⊥(a＋2b)得(a－λb)·(a＋2b)＝－2λ＋(－2－λ)×0＝0，解得λ＝0. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，因为a＋2b＝(3，1)，2a－3b＝(－1，2)， 所以解得 所以a＝(1，1)，b＝(1，0)，所以a·b＝1， |a|＝＝，|b|＝＝1， 则cos 〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]，则〈a，b〉＝. 【答案】　(1)B　(2) 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. [跟踪训练3] (1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析：选C．由题意，得c＝a＋t b＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C． (2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：由题意得2a－b＝(－2－m，1)，因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝(－1)×(－2－m)＋1×1＝0，解得m＝－3，则b＝(－3，1).设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. 答案： 四　向量的坐标运算在平面几何中的应用 [例4] 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点(不包含端点)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 【证明】　方法一：设正方形ABCD的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，设P(x，x)，0<x<1， 则E(x，0)，F(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x). 因为·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 方法二：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝a cos 180°＋(1－a)cos 90°＋a2cos 45°＋a(1－a)cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0，所以⊥，即DP⊥EF. 解题时，要根据题意选择恰当的方法：向量几何法和坐标法．在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊图形中，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算较为简单． [跟踪训练4] (1)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________． 解析：如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)， 设＝λ(0<λ<1)，则点E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－). 因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝， 所以E，故＝， 则||＝＝， 即ED＝. 答案： (2)如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为4的正三角形，设＝x＋y(x，y∈R). ①若x＝y＝1，求； ②若·＝36，·＝40，求x，y. 解：①当x＝y＝1时，＝＋，由题意可得，||2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝2×42＋2×8＝48， 因此，＝4. ②因为·＝·＝x·＋y||2＝8x＋16y＝36，即2x＋4y＝9， ·＝·＝x||2＋y·＝16x＋8y＝40，即2x＋y＝5， 所以解得 1．(多选)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a⊥b D．a∥b 解析：选BC．由于a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a≠b，故A错误；由于|a|＝＝，|b|＝＝，故B正确；因为1×1＋1×(－1)＝0，所以a⊥b，故C正确；因为1×(－1)－1×1≠0，所以a，b不平行，故D错误． 2．(2025·萍乡月考)已知向量a＝(1，2)，b＝(2－λ，λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________________． 解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0且a与b不共线，所以 解得λ>－2且λ≠. 答案：(－2，)∪(，＋∞) 3．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，a⊥(a－b)，则|a|＝________． 解析：因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝x2＋1－x(x－1)－2x＝1－x＝0，解得x＝1，所以|a|＝＝. 答案： 4．已知向量a＝(－2，λ)，b＝(1，1)，且a⊥b，则λ＝________，向量a－b在向量b上的投影向量为__________． 解析：由题意可得a·b＝－2＋λ＝0，解得λ＝2.a－b＝(－3，1)，则向量a－b在向量b上的投影向量为＝(－1，－1). 答案：2　(－1，－1) 1．已学习：向量数量积的坐标表示、利用数量积计算长度与角度． 2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式解决向量间的垂直、夹角及长度等几何问题． 3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式； (2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况． 学科网（北京）股份有限公司 $