第2章 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度 课标要求 1.掌握向量数量积的坐标表示（数学运算）. 2.会利用数量积计算向量的模与夹角（数学运算）. 　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标. 【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　平面向量数量积、模、夹角的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　x1x2＋y1y2　.这就是说，两个向量的数量积等于它们　对应坐标的乘积的和　. 2.平面向量模的坐标表示 （1）设a＝（x，y），则｜a｜2＝　x2＋y2　，或｜a｜＝　　； （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），那么a＝（x2－x1，y2－y1），｜a｜＝　｜｜＝　，这就 是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 3.平面向量垂直的充要条件的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 4.平面向量夹角的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝　　（｜a｜｜b｜≠0）. 【想一想】 1.向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？ 提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： 坐标表示 记忆口诀 垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0 平行 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0 2.已知向量a＝（x，y），你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向.易知b＝（－y，x）和a＝（x，y）垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.（　×　） （2）若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＞0，则两向量的夹角θ一定是锐角.（　×　） （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则｜｜＝.（　√　） （4）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.（　×　） 2.已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（　　） A.－3　　　　　　　　 B.－2 C.2 D.3 解析：C　因为＝－＝（1，t－3），所以｜｜＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C. 3.已知向量a＝（1，），b＝（，1），则a与b夹角的大小为. 解析：由题意得｜a｜＝＝2，｜b｜＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 题型一｜平面向量数量积的坐标运算 角度1　数量积的坐标运算 【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 解：a·（a－b）＝a·a－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. （2）求（a＋b）·（2a－b）； 解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2. （3）若c＝（2，1），求（a·b）·c，a·（b·c）. 解：（a·b）·c＝[（－1，2）·（3，2）]·（2，1）＝（－1×3＋2×2）·（2，1）＝（2，1）. a·（b·c）＝（－1，2）·[（3，2）·（2，1）]＝（－1，2）·（3×2＋2×1）＝8（－1，2）＝（－8，16）. 角度2　数量积的坐标运算在几何图形中的应用 【例2】　如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝（　　） A.11　　　　　　　　　　 B.10 C.－10 D.－11 解析：D　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），E（1，4），F（5，1），所以＝（5，1），＝（－3，4），所以·＝－15＋4＝－11. 通性通法 数量积运算的途径及注意点 （1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算； （2）对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 【跟踪训练】 1.a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），则（a＋b）·c＝0；a·b＝3. 解析：∵a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），∴a＋b＝（4，0），∴（a＋b）·c＝4×0＋0×1＝0，∴a·b＝2×2＋1×（－1）＝3. 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝. 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为＝2，所以F.所以＝（2，1），＝－（2，0）＝，所以·＝（2，1）·＝2×＋1×2＝. 题型二｜与平面向量模有关的问题 【例3】　（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A. B. C. D.1 解析：B　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a·a，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝. 【跟踪训练】 　在▱ABCD中，已知＝（－4，2），＝（2，－6），那么｜2＋｜＝（　　） A.5 B.2 C.2 D. 解析：D　设＝a，＝b，则a＋b＝＝（－4，2）.b－a＝＝（2，－6），所以b＝（－1，－2），a＝（－3，4），所以2＋＝2a＋b＝（－7，6），所以｜2＋｜＝＝. 题型三｜向量的夹角与垂直问题 【例4】　已知向量a＝（2，－1），b＝（m，3），若（a＋b）⊥a，则a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为a＝（2，－1），b＝（m，3），所以a＋b＝（2＋m，2）.因为（a＋b）⊥a，所以（a＋b）·a＝4＋2m－2＝0，所以m＝－1.因为cos＜a，b＞＝＝＝－，所以向量a，b的夹角为. 通性通法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及｜a｜｜b｜，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是[0，π]； （2）由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ＜0有两种情况，一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ＞0也有两种情况，一是θ为锐角，二是θ＝0. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（3，1），b＝（1，0），c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝－. 解析：c＝（3，1）＋（k，0）＝（3＋k，1），a·c＝3（3＋k）＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－. 2.已知a＝（1，2），b＝（－2，－4），｜c｜＝. （1）求｜a＋2b｜； （2）若（a＋b）·c＝，求向量a与c的夹角. 解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（－2，－4）＝（－3，－6）， ∴｜a＋2b｜＝＝3. （2）∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a， ∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π，即a与c的夹角为π. 1.已知a＝（3，4），b＝（－2，－1），则（a－b）·（a＋2b）＝（　　） A.5 B.10 C.15 D.20 解析：A　（a－b）·（a＋2b）＝（5，5）·（－1，2）＝－1×5＋2×5＝5. 2.已知平面向量a＝（3，1），b＝（x，－3），且a⊥b，则x＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.－9 解析：C　因为a⊥b，所以a·b＝3x－3＝0，解得x＝1. 3.已知平面向量＝（2，1），＝（－3t，3），若∥，则｜｜＝（　　） A.2 B.20 C. D.2 解析：A　因为平面向量＝（2，1），＝（－3t，3），且∥，所以2×3－1×（－3t）＝0，解得t＝－2，所以＝（6，3），所以＝－＝（6－2，3－1）＝（4，2），所以｜｜＝＝2.故选A. 4.〔多选〕已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则下列结论正确的有（　　） A.a·b＝5 B.a的单位向量是 C.＜a，b＞＝ D.与b垂直的单位向量是 解析：ABC　已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝5，故A正确；因为a＝（3，－1），｜a｜＝，所以a的单位向量是，故B正确；因为cos＜a，b＞＝＝＝，＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故C正确；设与b垂直的单位向量是（x，y），可得解得或故D错误.故选A、B、C. 5.设向量a与b的夹角为θ，且a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则cos θ＝. 解析：设b＝（x，y），则2b－a＝（2x，2y）－（3，3）＝（2x－3，2y－3）＝（－1，1），所以2x－3＝－1，2y－3＝1，解得x＝1，y＝2.所以b＝（1，2）.所以cos θ＝＝＝. 1.已知向量a＝（1，2），b＝（4，3），则a·（2a－b）＝（　　） A.0 B.1 C.－1 D.－3 解析：A　2a－b＝（－2，1），则a·（2a－b）＝（1，2）·（－2，1）＝0. 2.已知向量b与向量a＝（1，－2）的夹角是180°，且｜b｜＝3，则b＝（　　） A.（－3，6） B.（3，－6） C.（6，－3） D.（－6，3） 解析：A　由题意，设b＝λa＝（λ，－2λ）（λ＜0），由于｜b｜＝3.∴｜b｜＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝（－3，6）. 3.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角为（　　） A.－　　　B. C.　　　　D. 解析：C　2a＋b＝2（1，2）＋（1，－1）＝（2，4）＋（1，－1）＝（3，3），a－b＝（1，2）－（1，－1）＝（0，3）.设夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 4.已知向量a＝（0，－2），b＝（1，），则向量a在向量b上的投影向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 解析：D　向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－（1，）＝.故选D. 5.〔多选〕已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，1），c＝（2，t），则下列说法正确的是（　　） A.若（a＋b）∥c，则t＝6 B.若（a＋b）⊥c，则t＝ C.若t＝1，则cos＜a，c＞＝ D.｜a＋c｜＜3 解析：BC　a＋b＝（－1，3），若（a＋b）∥c，则－t－6＝0，所以t＝－6，故A错误；若（a＋b）⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝，故B正确；若t＝1，则cos＜a，c＞＝＝＝，故C正确；a＋c＝（3，t＋2），则｜a＋c｜＝≥3，故D错误.故选B、C. 6.〔多选〕已知向量a在向量b上的投影向量为（，），向量b＝（1，），则向量a可以为（　　） A.（0，2） B.（2，0） C.（1，） D.（，1） 解析：AD　由向量b＝（1，），得｜b｜＝＝2，又向量a在向量b上的投影向量为·b＝（，），所以＝，所以a·b＝2.对于A，a·b＝0×1＋2×＝2，符合题意，A正确；对于B，a·b＝2×1＋0×＝2，不符合题意，B错误；对于C，a·b＝1×1＋×＝4，不符合题意，C错误；对于D，a·b＝×1＋1×＝2，符合题意，D正确. 7.已知向量a与b方向相反，a＝（1，－），｜b｜＝2，则｜a－b｜＝4. 解析：∵a＝（1，－），∴｜a｜＝2，又向量a与b方向相反，且｜b｜＝2，∴a＝－b，∴｜a－b｜＝2｜b｜＝4. 8.若向量m＝（0，－2），n＝（，1），写出一个与2m＋n垂直的非零向量：（，1）（答案不唯一，满足x－3y＝0即可）. 解析：因为m＝（0，－2），n＝（，1），所以2m＋n＝2（0，－2）＋（，1）＝（，－3）.设a＝（x，y）（x≠0且y≠0），若a与2m＋n垂直，则a·（2m＋n）＝0，即x－3y＝0，令x＝，则y＝1，所以a＝（，1）. 9.已知向量a＝（2，1），b＝（1－x，x），c＝（－3x，3x），且a∥b，则b，c夹角的余弦值为－. 解析：由a∥b，得2·x－（1－x）＝0，解得x＝，则b＝，c＝（－1，1），所以cos＜b，c＞＝＝－. 10.已知向量a＝（2，k），b＝（1，1），满足b⊥（a－3b）. （1）求k的值； （2）求向量a与向量b夹角的余弦值. 解：（1）a－3b＝（2，k）－（3，3）＝（－1，k－3）， ∵b⊥（a－3b）， ∴b·（a－3b）＝1×（－1）＋1×（k－3）＝0，∴k＝4. （2）由（1）得a＝（2，4），b＝（1，1）， ∴｜a｜＝＝2，｜b｜＝＝， ∴cos＜a，b＞＝＝＝. 11.已知a，b，c均为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则（a－b）·c的取值范围是（　　） A.[0，1] B.[－1，1] C.[－，] D.[0，] 解析：C　由a，b为单位向量和｜a＋b｜＝1的几何意义，可知｜a－b｜＝，设a－b与c的夹角为θ，则（a－b）·c＝｜a－b｜｜c｜·cos θ＝cos θ，∵cos θ∈[－1，1]，∴（a－b）·c的取值范围为[－，]. 12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝3，则·＝（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：C　如图，建立平面直角坐标系.结合题意知，A（0，0），B（2，0），E（2，2），＝（2，0），＝（2，2），设F（x，4），x∈[0，2]，则＝（x，4）.因为·＝3，所以2x＝3，x＝，所以＝（，4），所以·＝2×＋2×4＝11. 13.设m＝（a，b），n＝（c，d），规定两向量m，n之间的一个运算“ⓧ”为mⓧn＝（ac－bd，ad＋bc），若已知p＝（1，2），pⓧq＝（－4，－3），则q的坐标为（－2，1）. 解析：设q＝（x，y），则pⓧq＝（x－2y，y＋2x）＝（－4，－3），∴∴∴q＝（－2，1）. 14.在平面直角坐标系中，O为原点，A（－2，2），B（3，1）. （1）在直线AB上的投影向量是，求的坐标； （2）若四边形AOBD是以OB为底的直角梯形，求点D的坐标. 解：（1）设＝＋λ＝（3，1）＋λ（－5，1）＝（3－5λ，1＋λ），λ∈R， 由题意得·＝0，所以－5（3－5λ）＋1＋λ＝26λ－14＝0，所以λ＝，所以＝（，）. （2）四边形AOBD是以OB为底的直角梯形，且·＝－4＜0，即∠AOB不是直角. 所以∥，⊥. 设D（x，y），则＝（x＋2，y－2），＝（x－3，y－1），又＝（3，1），所以解得所以点D的坐标为（，）. 15.已知向量a＝（3，2），b＝，且函数f（x）＝（a＋xb）·（xa－b）的图象是一条直线，则｜b｜＝（　　） A. B. C.2 D.2 解析：A　由题意，f（x）＝（a＋xb）·（xa－b）＝x｜a｜2－a·b＋x2a·b－x｜b｜2＝a·bx2＋（｜a｜2－｜b｜2）x－a·b，因为函数f（x）的图象是一条直线，所以a·b＝0，即3×（－1）＋2×＝0，解得m＝－2，所以b＝，｜b｜＝ ＝.故选A. 16.已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，－3），点P的横坐标为14，且＝λ，点Q是边AB上一点，且·＝0. （1）求实数λ的值与点P的坐标； （2）求点Q的坐标； （3）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求·（＋）的取值范围. 解：（1）设P（14，y），则＝（14，y），＝（－8，－3－y），由＝λ，得（14，y）＝λ（－8，－3－y），解得λ＝－，y＝－7， ∴点P的坐标为（14，－7）. （2）设Q（a，b），则＝（a，b）， 由（1）得＝（12，－16），∵·＝0， ∴12a－16b＝0，即3a－4b＝0.　① ∵点Q在边AB上，∴AQ∥AB， 又＝（4，－12），＝（a－2，b－9）， ∴4（b－9）＋12（a－2）＝0，即3a＋b－15＝0.　② 联立①②，解得a＝4，b＝3，∴Q点坐标为（4，3）. （3）由（2）得＝（4，3）， ∵R为线段OQ上的一个动点，∴设＝t＝（4t，3t），且0≤t≤1， 则R（4t，3t），＝（－4t，－3t），＝（2－4t，9－3t），＝（6－4t，－3－3t）， ∴＋＝（8－8t，6－6t）， ∴·（＋）＝－4t·（8－8t）－3t·（6－6t）＝50t2－50t＝50（t－）2－（0≤t≤1）， 当t＝0或1时，上式取得最大值0； 当t＝时，上式取得最小值－. 故·（＋）的取值范围为［－，0］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $