第2章 §5 5.1 向量的数量积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦平面向量数量积这一核心知识点，从物理功的概念引入，系统梳理数量积的定义、投影向量与投影数量、运算律及性质，构建从实际问题到数学概念再到求模、夹角、垂直判断的学习支架。 该资料以物理情境导入培养数学眼光，通过思考、即时练、例题等环节引导数学思维，用定义和几何意义强化数学语言表达。课中助于概念理解，课后跟踪训练与总结可帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

§5　从力的做功到向量的数量积 5．1　向量的数量积 新课导入 学习目标 在初中物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解投影向量的概念以及投影向量的意义． 3．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 4．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． 一　向量的数量积的定义 思考　功只与所受力的大小与移动的位移有关，对吗？ 提示：不对，还与力与位移夹角的大小有关． [知识梳理] 如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|cos θ 称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|cos θ. 规定零向量与任一向量的数量积为0． 当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0； 当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b<0； 当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两向量的数量积是非负实数．(　　) (2)若a≠0，a·b＝0，则b＝0.(　　) (3)已知两个向量，的夹角为60°，则∠NMP＝60°.(　　) (4)若a，b是两个单位向量，则a·b＝1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 解析：选C．m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×cos 135°＝－24×＝－12.故选C． 3．已知△ABC满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 解析：选D．由题得||2＝||2＋||2，所以B＝90°. 方法一：原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25. 方法二：原式＝·＋·(＋)＝·－2＝0－||2＝－25.故选D． 4．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·； (2)·； (3)·. 解：(1)因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)因为与的夹角为120°， 所以·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)因为与的夹角为60°，所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 二　投影向量和投影数量 思考　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|. 提示：|OD|＝|OA|cos θ. [知识梳理] 1．如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到向量γ＝，γ称为a在b上的投影向量． |a|cos〈a，b〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． 2．向量的数量积a·b的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积(其中θ为a与b的夹角). [例1] (1)已知向量|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为45°，则b在a上的投影向量为(　　) A．a B．a C．b D．b (2)已知平面向量a，b，|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为－b，则a·b＝________． 【解析】　(1)b在a上的投影向量为 |b|cos 〈a，b〉＝2×cos 45°×a＝a. (2)由题得＝b＝－b，则＝－，又|b|＝3，所以a·b＝－. 【答案】　(1)A　 (2)－ (1)投影向量与投影数量是完全不同的概念，a在b方向上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉，而投影数量为|a|cos 〈a，b〉． (2)求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影数量，在正确理解其定义的同时，找准两向量的夹角是关键，在确定两向量的夹角时，一定要注意“共起点”． [跟踪训练1] (2025·九江月考)已知平面向量a与b满足：a在b上的投影向量为b，b在a上的投影向量为a，且|a|＝2，则|b|＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：选C．a在b上的投影向量为|a|()＝b，即＝，① b在a上的投影向量为|b|()＝a，即＝，② 由①②得＝，又|a|＝2，所以|b|＝2. 三　数量积的运算律和运算性质 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μa)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb(λ，μ∈R). 思考　向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律． [知识梳理] 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos 〈a，e〉； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝|a|2，即|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． [例2] (1)已知向量a与b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝(　　) A．－4 B．3－4 C．－2 D．1 (2)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，2＝3，则·＝(　　) A． B． C．－ D．－ 【解析】　(1)a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cos －22＝－4，故选A． (2)由2＝3⇒2(－)＝3(－)⇒＝(2＋3)，而＝－，又由已知可得·＝||||·cos 120°＝－1，所以·＝(2＋3)·(－)＝(－2||2＋3||2－·)＝×(－8＋3＋1)＝－.故选D． 【答案】　(1)A　(2)D 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若题目要求的是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律进行化简，再进行数量积运算． [跟踪训练2] (1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________． 解析：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. 答案：－34 (2)如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________． 解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即||2－·－||2＝2.又||2＝25，||2＝64，所以·＝22. 答案：22 四　向量的模 [例3] 已知向量a与向量b的夹角为，且|a|＝1，a⊥(3a－2b). (1)求|b|； (2)若|2a－mb|＝，求m. 【解】　(1)因为a⊥(3a－2b)， 所以a·(3a－2b)＝0， 所以3a2－2a·b＝0，所以a·b＝， 所以a·b＝|a||b|cos ＝，所以|b|＝3. (2)因为|2a－mb|＝，所以(2a－mb)2＝7，即4a2－4ma·b＋m2b2＝7， 所以4－4×m＋m2·9＝7，即3m2－2m－1＝0，所以m＝－或m＝1. 求向量模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． [跟踪训练3] (1)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－b|＝　(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选C．由题意得，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1，即1＋1＋2a·b＝1，整理得a·b＝－，则|a－b|＝＝＝＝.故选C． (2)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝|a－b|，则|2a＋b|＝(　　) A． B．2 C．2 D．8 解析：选B．因为|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝|a－b|，对等式两边平方易知a·b＝0，故|2a＋b|＝＝＝＝2. [例4] 已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，且|a＋2b|＝. (1)求向量a与b的夹角θ； (2)若(a＋λb)⊥(2a－b)，求实数λ的值． 【解】　(1)由|a＋2b|＝，平方得|a|2＋4|a||b|·cos θ＋4|b|2＝7，因为|a|＝3，|b|＝1，所以9＋4×3×1×cos θ＋4＝7，解得cos θ＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)由(1)知a·b＝|a||b|cos θ＝3×1×(－)＝－.因为(a＋λb)⊥(2a－b)，所以(a＋λb)·(2a－b)＝0，化简得2|a|2＋(2λ－1)a·b－λ|b|2＝0，所以18－(2λ－1)－λ＝0，解得λ＝. (1)求向量夹角的方法 ①求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解． ②用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解． ③借助向量数量积的几何意义，数形结合求夹角． (2)求向量夹角的注意点 要注意向量夹角θ的取值范围为[0，π].当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝. [跟踪训练4] (1)已知|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则向量a与b夹角的余弦值是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选B．因为|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)， 所以(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b＝2|a|2－2|b|2－3a·b＝4－2－3a·b＝0， 所以a·b＝，所以cos 〈a，b〉＝＝. (2)(2025·吉安月考)已知两个单位向量e1与e2的夹角为，若a＝e1－2e2，b＝e1－me2，且a⊥b，则实数m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选D．由题意a·b＝(e1－2e2)·(e1－m e2)＝e－(m＋2)e1·e2＋2m e＝0， 又向量e1与e2的夹角为且为单位向量，所以1＋＋2m＝0，解得m＝－.故选D． 1．(教材P109T2改编)已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝(　　) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B．由向量数量积的定义，得a·b＝|a||b|·cos 120°＝×2×(－)＝－3.故选B． 2．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0， 所以3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝. 3．已知△ABC是边长为2的正三角形，则向量在方向上的投影数量是____________． 解析：向量在方向上的投影数量为||·cos 〈，〉＝2×cos 120°＝－1. 答案：－1 4．(2025·阜阳月考)已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为__________． 解析：因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，所以|a－4b|＝2. 答案：2 1．已学习：向量数量积的定义、投影向量与投影数量、向量数量积的运算性质． 2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法． 3．应注意：a·b>0 两向量夹角为锐角(易忽视零角)，a·b<0两向量夹角为钝角(易忽视平角). 学科网（北京）股份有限公司 $