第2章 §4 4.1 平面向量基本定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦平面向量基本定理这一核心知识点，从向量共线定理推广至共面向量，通过定义基与正交分解构建知识支架，引导学生理解定理内容、用基表示向量及解决几何问题，形成完整知识脉络。 该资料以音乐基本音符类比向量“基本音符”导入，贴近生活激发兴趣，体现数学眼光。即时练与例题设计注重推理与应用，培养数学思维，通过平行四边形、三角形等实例训练用基表示向量，强化数学语言表达。课中辅助教学，课后助力学生回顾强化，有效查漏补缺。

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 新课导入 学习目标 音乐有7个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si，不管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，其乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1.通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义． 2．会用一组基来表示其他向量． 3．能应用平面向量基本定理解决一些与平面几何有关的问题． 一　对向量基的理解 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来． 思考　向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来． [知识梳理] 1．平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基：我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}． 3．平面向量正交分解的定义 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． [即时练] 1．(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 解析：选BC．由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 2．(多选)已知{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基，则下列四个选项中，能作为一组基的是(　　) A．e1＋e2，e1－e2 B．3e1－2e2，4e2－6e1 C．e1＋2e2，e2＋2e1 D．e2，e1＋e2 解析：选ACD．e1，e2不共线，根据向量的加法和减法运算法则，可得e1＋e2，e1－e2不共线，e2，e1＋e2不共线，e1＋e2，e1－e2和e2，e1＋e2均可作为一组基，选项A，D正确；对于B，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，3e1－2e2，4e2－6e1共线，所以3e1－2e2，4e2－6e1不能作为一组基，选项B错误；对于C，若e1＋2e2，e2＋2e1共线，则存在实数λ，使得e1＋2e2＝λ(e2＋2e1)，即(1－2λ)e1＋(2－λ)e2＝0，又e1，e2不共线，所以此方程组无解，即λ不存在，所以e1＋2e2，e2＋2e1不共线，e1＋2e2，e2＋2e1可作为一组基，选项C正确．故选ACD． 3．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基的是(　　) A．{，} B．{，} C．{，} D．{，} 解析：选AC． 平面内任意两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基，如图，对于A，与不共线，可以作为一组基；对于B，与为共线向量，不可以作为一组基；对于C，与不共线，可以作为一组基；对于D，与是共线向量，不可以作为一组基． 4．(2025·宜春月考)已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________． 解析：若{a，b}能作为平面内的一组基，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基； (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 二　用基表示向量 [例1] (1)(对接教材例1)如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．a－b C．－a＋b D．a－b (2)(对接教材例2)如图，在△OAB中，＝a，＝b，BE∶EA＝1∶2，F是OA的中点，线段OE与BF交于点G，试用基{a，b}表示＝________． 【解析】　(1)依题意在平行四边形ABCD中，AM∥CD，又M是AB的中点，则AM＝AB＝CD，又DM与AC交于点N，所以△ANM∽△CND，则＝＝，所以＝，又＝a，＝b，所以＝－＝－＝(＋)－＝－＋＝－a＋b. (2)方法一：由点O，G，E共线，设＝λ， 易得＝λ(＋)＝λ＋＝λ＋(－)＝＋. 由点B，G，F共线，设＝μ，所以－＝μ(－)， 即＝μ＋(1－μ)＝μ＋. 所以＋＝μ＋， 所以即 解得 所以＝＋＝a＋b. 方法二：如图，取AE的中点为M，连接FM，又因为F为OA的中点，所以FM∥OE，即GE∥FM.因为BE∶EA＝1∶2，所以BE＝EM，所以BG＝GF，所以＝(＋)＝＝a＋b. 【答案】　(1)A　(2)a＋b 用基表示向量的方法 (1)平面内任何一个向量都可以用一组基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，同时结合实数的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基的方向进行组合或分解． (2)具体表示方法有两种： ①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基表示为止； ②基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． [跟踪训练1] (1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：选A．由题意得，＝＋＝＋＝＋－＝－＋.故选A． (2)在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，则＝________，＝________．(用c，d表示) 解析：如图，设＝a，＝b. 因为M，N分别是DC，BC的中点，所以＝b，＝a. 因为在△ADM和△ABN中， 即解得 所以＝d－c，＝c－d. 答案：d－c　c－d 三　平面向量基本定理的应用 [例2] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 【解】　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－e1－3e2，＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得 解得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 母题探究　若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN. 解：如图，设＝e1，＝e2，则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2，因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得解得所以＝，＝，所以AP∶PM＝2∶1，BP∶PN＝2∶1. 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可． [跟踪训练2] (1)在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC＝2BM，NC＝3DN，设＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝________． 解析：如图，选作为基，则 可得 又＝＋， 所以＝a－b＋b－a＝a＋b， 又＝λa＋μb， 所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 答案： (2)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c. ①用a，c表示向量； ②若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. 解：①因为＝－＝c－a， 所以＝＝(c－a)， 所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a. ②设＝λ(λ∈R)，所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 1．下列关于基的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基； ②基中的向量可以是零向量； ③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 解析：选C．零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基中的向量，故②错误，①③正确．故选C． 2．(教材P101T1改编)如图，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　) A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2 C．e2－3e1 D．－e2＋3e1 解析：选C．如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C． 3．(教材P101T2改编)如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，在基{a，b}下向量的分解式是____________． 解析：由题意可得＝＋＝＋＝a＋b. 答案：a＋b 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________． 解析：如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，又因为与不共线，所以由平面向量基本定理得λ1＝－，λ2＝，所以λ1＋λ2＝－＋＝. 答案： 1．已学习：平面向量基本定理、用基表示向量、平面向量基本定理的应用． 2．须贯通：灵活应用基表示向量以及平面向量基本定理的应用． 3．应注意：(1)忽视基中的向量必须是不共线的两个向量； (2)无论是在三角形还是四边形中解决问题，通常以两邻边为基． 学科网（北京）股份有限公司 $