第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.2　平面向量及运算的坐标表示 课标要求 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（数学抽象）. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算（数学运算）. 3.能用坐标表示平面向量共线的条件（数学运算）. 　　三坐标雷达亦称三维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示. 【问题】　你知道平面向量的坐标如何表示吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面向量的坐标表示 1.定义：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把（x，y）称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a＝　（x，y）　. 2.平面向量运算的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则 文字描述 符号表示 加 法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的　和 a＋b＝　（x1＋x2，y1＋y2） 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的　差 a－b＝　（x1－x2，y1－y2） 数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa＝　（λx1，λy1） 重要结论 一个向量的坐标等于其　终点　的坐标减去　起点　的坐标 已知A（x1，y1）， B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1） 3.中点坐标公式：若点A（x1，y1），点B（x2，y2），线段AB的中点M的坐标为（x，y），则 【想一想】 1.在直角坐标平面内，O为原点，向量的坐标与点A的坐标有什么关系？ 提示：设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标. 2.向量的坐标与向量终点的坐标一致吗？ 提示：向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致；否则不一致. 3.如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为（x，y），即a＝（x，y）？ 提示：不能.因为i，j不一定是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量. 知识点二　平面向量平行的坐标表示 　设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是 　x1y2－x2y1＝0　. 　　提醒：（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＝（x1，y1），则－a＝（－x1，－y1）.（　√　） （2）单位向量a的坐标为（0，1）或（1，0）.（　×　） （3）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.（　×　） （4）向量的坐标就是向量终点的坐标.（　×　） （5）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2＝x2y1.（　√　） 2.若A（2，－1），B（－1，3），则的坐标是（　　） A.（1，2）　B.（－1，－2）　C.（－3，4）　D.（3，－4） 解析：C　B点坐标减去A点坐标即可. 3.设i＝（1，0），j＝（0，1），向量a＝2i－3j，则向量a的坐标为（2，－3）. 题型一｜平面向量的坐标表示 【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形. （1）求向量a，b的坐标； 解：如图，作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2. ∴A（2，2）， 故a＝（2，2）. ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3， ∴C， ∴＝＝， 即b＝. （2）求向量的坐标； 解：＝－＝. （3）求点B的坐标. 解：＝＋＝（2，2）＋ ＝. ∴点B的坐标为（ 2－，2＋）. 通性通法 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标； （2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 【跟踪训练】 已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标. 解：法一　由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）， 所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），＝2＝2（6，3）＝（12，6）. 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24）， 所以解得 ＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6）， 所以解得 所以M（0，20），N（9，2），＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）. 法二　设O为坐标原点，则由＝3，＝2，可得－＝3（－），－＝2（－），从而＝3－2，＝2－，所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），即M（0，20），N（9，2），故＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）. 题型二｜平面向量的坐标运算 【例2】　（1）已知向量a＝（1，2），b＝（3，－4），c＝（－2，6），试求a＋3b，3a－2b＋c； 解：因为a＝（1，2），b＝（3，－4），c＝（－2，6）， 所以a＋3b＝（1，2）＋3（3，－4）＝（1，2）＋（9，－12）＝（10，－10）， 3a－2b＋c＝3（1，2）－2（3，－4）＋（－2，6）＝（3，6）－（6，－8）＋（－1，3）＝（－4，17）. （2）已知平面上三个点A（4，6），B（7，5），C（1，8），求，，＋，－，2＋. 解：因为A（4，6），B（7，5），C（1，8）， 所以＝（7，5）－（4，6）＝（3，－1）； ＝（1，8）－（4，6）＝（－3，2）. 所以＋＝（3，－1）＋（－3，2）＝（0，1）， －＝（3，－1）－（－3，2）＝（6，－3）， 2＋＝2（3，－1）＋（－3，2）＝（，－1）. 通性通法 平面向量坐标运算的步骤 （1）各向量分别用坐标表示； （2）按照向量的加、减、数乘的坐标运算法则进行计算.解题过程中注意方程思想的运用及运算法则的正确使用. 【跟踪训练】 1.若向量a＝（1，1），b＝（－1，1），c＝（4，2），则c＝（　　） A.3a＋b　　　　　　　　 B.3a－b C.－a＋3b D.a＋3b 解析：B　设c＝ma＋nb，则（4，2）＝m（1，1）＋n（－1，1）＝（m－n，m＋n），所以解得所以c＝3a－b. 2.已知A（2，3），B（－1，5），＝，＝3，求点C，D的坐标. 解：设点O为坐标原点，由＝，得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（－1，5）＋（2，3）＝（1，）. 由＝3，得－＝3（－），则＝3－2＝（－3，15）－（4，6）＝（－7，9）， 故点C，D的坐标分别为（1，），（－7，9）. 题型三｜平面向量平行的条件及应用 【例3】　（1）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），＝，＝.求证：∥； 解：证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）. 因为＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1）， 所以＝＝， ＝＝， 所以（x1，y1）－（－1，0）＝， （x2，y2）－（3，－1）＝， 所以（x1，y1）＝，（x2，y2）＝， 所以＝（x2，y2）－（x1，y1）＝. 因为4×－（－1）×＝0， 所以∥. （2）已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时，它们是同向还是反向？ 解：ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2）， a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4）. 因为（ka＋b）∥（a－3b）， 所以（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0， 解得k＝－. 此时ka＋b＝＝ ＝－（10，－4）＝－（a－3b）， 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向. 通性通法 利用向量坐标判断向量共线或三点共线 （1）利用向量的坐标判断两向量平行时，可先求出需要判断的向量的坐标，再依据坐标关系来说明两个向量平行，即：若已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且x1y2－x2y1＝0，则a∥b； （2）对于根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线（平行）向量基本定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0或＝直接求解； （3）利用向量解决三点共线问题的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线.因为两个向量过同一点，所以两个向量所在的直线必重合，即三点共线. 【跟踪训练】 　已知a＝（1，0），b＝（2，1）. （1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ 解：ka－b＝k（1，0）－（2，1）＝（k－2，－1）， a＋2b＝（1，0）＋2（2，1）＝（5，2）. ∵ka－b与a＋2b共线， ∴2（k－2）－（－1）×5＝0， 即2k－4＋5＝0， 得k＝－. （2）若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值. 解：∵A，B，C三点共线， ∴＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ（a＋mb）， ∴解得m＝. 1.已知点A（1，1），B（2，4），将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量＝（　　） A.（2，0） B.（3，3） C.（1，3） D.（3，4） 解析：C　因为点A（1，1），B（2，4），所以＝（1，3）.将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，所以＝＝（1，3）. 2.已知＝（3，1），＝（－4，－3），则＝（　　） A.（－7，－4） B.（7，4） C.（－1，4） D.（1，4） 解析：A　＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），故选A. 3.已知A（3，－1），B（3，2），O为坐标原点，＝2＋λ（λ∈R）.若点P在x轴上，则λ＝（　　） A.0 B.1 C.－1 D.－2 解析：B　设点P（a，0），则＝（a，0）.又＝（3，－1），＝（3，2），＝2＋λ（λ∈R），所以（a，0）＝（6，－2）＋（3λ，2λ），所以解得故选B. 4.已知a＝（1，2），b＝（1，0），c＝（3，4），则当（a＋λb）∥c时，λ＝. 解析：a＋λb＝（1＋λ，2），由（a＋λb）∥c，得（1＋λ）×4＝3×2，解得λ＝. 5.已知A（2，－3），＝（3，－2），则线段AB的中点坐标为. 解析：设B（m，n），因为A（2，－3），＝（3，－2）， 所以＝（3，－2）＝（m－2，n＋3）， 即 所以所以B（5，－5）， 因为＝，＝－4，则线段AB的中点坐标为. 1.已知a－b＝（1，2），a＋b＝（4，－10），则a＝（　　） A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2） 答案：D 2.若a＝（2cos α，1），b＝（sin α，1），且a∥b，则tan α＝（　　） A.2　　　　B. C.－2　　　D.－ 解析：A　∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A. 3.已知向量a＝（1，2），b＝（2，3），c＝（3，4），且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为（　　） A.－2，1 B.1，－2 C.2，－1 D.－1，2 解析：D　由解得 4.在四边形ABCD中，A（－2，0），B（－1，3），C（3，4），D（2，3），E，F分别为边AB，CD的中点，则＝（　　） A.（4，2） B.（－4，－2） C.（8，4） D.（－8，－4） 解析：A　由题意知E（－，），F（，），所以＝（，）－（－，）＝（4，2）. 5.〔多选〕已知O为坐标原点，向量＝（2，3），＝（6，－3），P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可能为（　　） A.（，1） B.（，5） C.（，－1） D.（－，7） 解析：AC　因为＝（2，3），＝（6，－3），所以＝－＝（4，－6），又点P是线段AB的三等分点，所以＝＝（，－2）或＝＝（，－4），所以＝＋＝（，1）或＝＋＝（，－1），即点P的坐标为（，1）或（，－1）. 6.〔多选〕已知平面上三点坐标为A（3，7），B（4，6），C（1，－2），若点D使这四个点构成平行四边形的四个顶点，则点D的坐标可以是（　　） A.（0，－1） B.（2，－3） C.（6，15） D.（2，3） 解析：ABC　由题意，三点坐标为A（3，7），B（4，6），C（1，－2），当平行四边形为▱ABCD时，设点D的坐标为（x，y），则＝，可得（4，6）－（3，7）＝（1，－2）－（x，y），即解得x＝0，y＝－1，即点D的坐标为（0，－1）；当平行四边形为▱ABDC时，设点D的坐标为（x，y），则＝，可得（4，6）－（3，7）＝（x，y）－（1，－2），即解得x＝2，y＝－3，即点D的坐标为（2，－3）；当平行四边形为▱ADBC时，设点D的坐标为（x，y），则＝，可得（1，－2）－（3，7）＝（4，6）－（x，y），即解得x＝6，y＝15，即点D的坐标为（6，15），综上可得，点D的坐标可能为（0，－1）或（2，－3）或（6，15）.故选A、B、C. 7.已知向量a＝（，1），b＝（0，－1），c＝（k，），若2a－b与c平行，则实数k＝2. 解析：因为a＝（，1），b＝（0，－1）， 所以2a－b＝2（，1）－（0，－1）＝（2，3）. 又因为c＝（k，），2a－b与c平行， 所以2×－3k＝0， 解得k＝2. 8.已知向量a＝（6，－4），b＝（0，2），＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数y＝cosx的图象上，则实数λ＝2. 解析：由题意知＝（6，－4＋2λ）， 即C（6，－4＋2λ），∴－4＋2λ＝cos（×6）， 解得λ＝2. 9.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m－1，m＋3），若平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则m的取值范围是{m｜m≠5}. 解析：因为平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c＝λa＋μb，所以根据平面向量基本定理可知，向量a，b不共线，所以1×（m＋3）－2×（m－1）≠0，所以m≠5，所以m的取值范围是{m｜m≠5}. 10.如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和与的坐标. 解：由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点. 设B（x1，y1），D（x2，y2）.由三角函数的定义，得 x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，∴B. x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， ∴D. ∴＝，＝. 11.如果将＝，绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是（　　） A. B. C.（－1，） D. 解析：D　设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为（x，y），则x＝｜｜cos（120°＋30°）＝－，y＝｜｜sin（120°＋30°）＝，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D. 12.〔多选〕已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A.－2 B. C.1 D.－1 解析：ABD　因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1）.假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.故选A、B、D. 13.若{α，β}是表示平面内所有向量的一组基，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基{α，β}下的坐标.已知向量p＝（1，－1），q＝（2，1），m＝（－1，1），n＝（1，2），若向量a在基{p，q}下的坐标为（－2，2），则a在基{m，n}下的坐标为（0，2）. 解析：因为a在基{p，q}下的坐标为（－2，2），所以a＝－2p＋2q＝－2（1，－1）＋2（2，1）＝（2，4）.设a在基{m，n}下的坐标为（x，y），则a＝xm＋yn＝x（－1，1）＋y（1，2）＝（－x＋y，x＋2y），即（2，4）＝（－x＋y，x＋2y），所以解得所以a在基{m，n}下的坐标为（0，2）. 14.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）. （1）若＝，求D点的坐标； （2）设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 解：（1）设D（x，y），则＝（1，－5），＝（x－4，y－1）. ∵＝，∴（1，－5）＝（x－4，y－1）， 即解得 ∴D点的坐标为（5，－4）. （2）由题意得a＝＝（1，－5），b＝＝（2，3）， ∴ka－b＝（k－2，－5k－3），a＋3b＝（7，4）. ∵（ka－b）∥（a＋3b），∴4（k－2）＝7（－5k－3）， 解得k＝－. 15.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现对Rt△CED按上述操作作图后，得到如图所示的图形.若＝x＋y，则x＋y＝. 解析：设正方形ABCD的边长为1，则正方形DEHI的边长为，正方形EFGC的边长为，则DF＝.因为∠FDC＝30°，所以＝×cos 30°＋×sin 30°＝＋.又＝＋，所以＝＋，所以x＋y＝＋＝. 16.已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－x）的对应关系可用v＝f（u）表示. （1）证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立； （2）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标； （3）求使f（c）＝（3，5）成立的向量c. 解：（1）证明：设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.则f（mx1＋nx2，my1＋ny2）＝（my1＋ny2，2my1＋2ny2－mx1－nx2）， 又mf（a）＝（my1，2my1－mx1），nf（b）＝（ny2，2ny2－nx2），所以mf（a）＋nf（b）＝（my1＋ny2，2my1＋2ny2－mx1－nx2）， 所以f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）. （2）f（a）＝（1，1），f（b）＝（0，－1）. （3）设向量c＝（x3，y3），则 解得所以c＝（1，3）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $