第2章 §3 3.2 向量的数乘与向量共线的关系（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量的数乘与向量共线的关系，核心知识点为共线（平行）向量基本定理。上节课学习向量数乘已知λb与b共线，本节课在此基础上探究向量共线的充要条件，构建“数乘向量共线→共线定理→三点共线证明→参数求解”的学习支架，衔接紧密。 资料以问题驱动新课导入，通过“思考”引导学生用数学眼光抽象共线本质，例题与跟踪训练分层设计，培养数学思维的推理能力。方法总结助教师授课，练习题供学生课后查漏补缺，提升应用意识，体现数学语言表达现实世界的学科特色。

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 新课导入 学习目标 　　上节课我们学习了向量的数乘，已经知道：对任一向量b，λb(λ为任一实数)与b是共线向量；那么向量a与向量b共线，则a与λb有什么关系呢？这节课我们来学习向量的数乘与向量共线的关系． 1.掌握共线(平行)向量基本定理及应用． 2．了解直线的向量表示形式． 一　共线（平行）向量基本定理 思考　引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 提示：实数与向量的积与原向量共线． [知识梳理] 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb． [例1] 判断向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线的非零向量)： (1)a＝3e1，b＝－9e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2. 【解】　(1)因为a＝3e1，b＝－9e1，则有b＝－3a，所以a，b共线． (2)因为a＝e1－e2，b＝3e1－2e2＝6，则b＝6a，所以a，b共线． (3)假设b＝λa(λ∈R)，则3e1＋3e2＝λ(e1－e2)，即(3－λ)e1＋(3＋λ)e2＝0， 因为e1，e2不共线，所以此方程组无解，因此不存在实数λ，使得b＝λa，所以a，b不共线． 判断两个向量是否共线的方法 b是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得a＝λb，则向量a与非零向量b共线．解题过程中，有时需要把a＝λb用已知的不共线的非零向量(例如e1，e2)表示出来，化成关于e1，e2的方程Φ(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组求λ.若λ存在，则a与b共线；若λ不存在，则a与b不共线． [跟踪训练1] (1)已知a，b，c均为非零向量，且a＝2b，b＝－3c，则(　　) A．a与c垂直 B．b与c同向 C．a与c反向 D．a与b反向 解析：选C．因为a＝2b，b＝－3c，所以a与b同向，b与c反向，所以a与c反向．故选C． (2)当非零向量a与b满足____________时，非零向量 a＋b与a－b为共线向量． 解析：因为非零向量a＋b与a－b为共线向量，所以存在实数λ，使得a＋b＝λ(a－b)， 即(1－λ)a＝(－λ－1)b， 因为向量a与b为非零向量，所以根据共线(平行)向量基本定理得a∥b. 答案：a∥b 二　三点共线的证明(判断) [例2] 如图，在△ABC中，＝，＝.设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)(对接教材例6)若点P为△ABC内部一点，且＝a＋b.求证：M，P，N 三点共线． 【解】　(1)由题图知，＝－＝b－a， ＝－＝＋＝(b－a)＋a＝b＋a. (2)证明： 连接AN，如图．由＋＝＋＋＝＋－＝a＋b－(b－a)＝a＋b， 又＝a＋b＝， 所以＝＋，故M，P，N三点共线． 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. [跟踪训练2] (1)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：选B．＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)已知a，b是不共线的两个非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明：A，B，C三点共线． 证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2，所以与共线，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线． 三　利用向量共线求参数 [例3] (1)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． (2)已知a，b是两个不共线的非零向量，向量b－ta，a－tb共线，则实数t＝________． 【解析】　(1)由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝. (2)因为b－ta与a－tb共线，所以存在实数λ，使得b－ta＝λ，即a＋b＝0.因为a与b不共线，所以解得t＝±. 【答案】　(1)D　(2)± 利用向量共线求参数的基本步骤 (1)根据向量共线的充要条件是建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参数). (2)依据下述结论列方程组求参数． ①若a与b不共线，则λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b的充要条件是 ②若a与b不共线，m＝λ1a＋μ1b，n＝λ2a＋μ2b，则m∥n⇔λ1μ2＝λ2μ1. [跟踪训练3] (1)设e1，e2是两个不共线的非零向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝(　　) A．0 B．1 C．2 D． 解析：选D．因为向量m与向量n共线，所以设m＝λn(λ∈R)，所以－e1＋ke2＝λe2－2λe1，因为e1与e2不共线，所以所以故选D． (2)设e1，e2是两个不共线的非零向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________． 解析：由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2. 因为e1，e2不共线，所以 解得或 因为ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，所以λ＝－，k＝－4. 答案：－4 1．(2025·淮北期中)若点M满足向量2＝3－，则点M与AB的位置关系是(　　) A．点M为线段AB的中点 B．点M在线段AB的延长线上 C．点M在线段BA的延长线上 D．点M不在线段AB上 解析：选C．因为2＝3－，即2(－)＝－，可得2＝，所以点M在线段BA的延长线上． 2．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a＝－2b B．a＝2b C．a∥b D．a∥b且|a|＝|b| 解析：选A．，均为单位向量，若＋＝0，则非零向量a，b反向共线，只有a＝－2b满足，故选A． 3．设向量a和b不平行，若向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，则实数λ＝____________． 解析：因为向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，所以存在t(t<0)，使得2λa＋8b＝t(a＋λb)，即(2λ－t)a＋(8－tλ)b＝0，又向量a和b不平行，所以解得 答案：－2 4．(2025·汉中月考)设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：设存在k∈R，使得A，B，D三点共线， 因为＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2. 又因为A，B，D三点共线，所以存在λ∈R，使＝λ，所以2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， 所以解得 所以存在实数k＝－8，使得A，B，D三点共线． 1．已学习：共线(平行)向量基本定理、三点共线的证明(判断)、利用向量共线求参数． 2．须贯通：借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题． 3．应注意：利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊条件． 学科网（北京）股份有限公司 $