2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量的数乘与共线关系核心知识点，以向量数乘为基础，通过思考问题引导学生发现λa与a的共线关系，进而构建共线向量基本定理，形成从概念理解到应用（向量共线判断、三点共线证明、参数求解）的完整学习支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光，通过“思考-提示-例题”环节引导学生观察向量关系；用方程思想和反证法解析例题，发展数学思维中的推理能力；以向量等式精确表达共线条件，强化数学语言应用。课中辅助教师突破难点，课后通过跟踪训练和练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 1.掌握共线(平行)向量基本定理及应用．　2.了解直线的向量表示形式． 思考　若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ 提示：λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa一定成立． 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________． [答案自填] a＝λb 　判断向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线的非零向量)： (1)a＝3e1，b＝－9e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2. 【解】　(1)因为a＝3e1，b＝－9e1，则有b＝－3a，所以a，b共线． (2)因为a＝e1－e2，b＝3e1－2e2＝6，则b＝6a，所以a，b共线． (3)假设b＝λa(λ∈R)，则3e1＋3e2＝λ(e1－e2)，即(3－λ)e1＋(3＋λ)e2＝0， 因为e1，e2不共线，所以此方程组无解，因此不存在实数λ，使得b＝λa，所以a，b不共线． 判断两个向量是否共线的方法 b是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得a＝λb，则向量a与非零向量b共线．解题过程中，有时需要把a＝λb用已知的不共线的非零向量(例如e1，e2)表示出来，化成关于e1，e2的方程Φ(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组求λ.若λ存在，则a与b共线；若λ不存在，则a与b不共线． [跟踪训练1] (1)已知a，b，c均为非零向量，且a＝2b，b＝－3c，则(　　) A．a与c垂直 B．b与c同向 C．a与c反向 D．a与b反向 解析：选C.因为a＝2b，b＝－3c，所以a与b同向，b与c反向，所以a与c反向．故选C. (2)当非零向量a与b满足____________时，非零向量 a＋b与a－b为共线向量． 解析：因为非零向量a＋b与a－b为共线向量，所以存在实数λ，使得a＋b＝λ(a－b)，即(1－λ)a＝(－λ－1)b， 因为向量a与b为非零向量，所以根据共线(平行)向量基本定理得a∥b. 答案：a∥b 　(1)已知e1，e2是两个不共线的非零向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． (2)如图，在△ABC中，＝，＝.设＝a，＝b. ①用a，b表示，； ②(对接教材例6)若点P为△ABC内部一点，且＝a＋b.求证：M，P，N 三点共线． 【解】　(1)证明：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝－＝e 1－4e 2.又＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)，所以＝2，所以∥.因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)①由题图知，＝－＝b－a， ＝－＝＋＝(b－a)＋a＝b＋a. ②证明：连接AN，如图．由＋＝＋＋＝＋－＝a＋b－(b－a)＝a＋b， 又＝a＋b＝，所以＝＋，故M，P，N三点共线． 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. [跟踪训练2] (1)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：选B.＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)已知a，b是不共线的两个非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明：A，B，C三点共线． 证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2，所以与共线，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线． 　(1)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B. C. D. (2)已知a，b是两个不共线的非零向量，向量b－ta，a－tb共线，则实数t＝________． 【解析】　(1)由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝. (2)因为b－ta与a－tb共线，所以存在实数λ，使得b－ta＝λ，即a＋b＝0.因为a与b不共线，所以解得t＝±. 【答案】　(1)D　(2)± 利用向量共线求参数的基本步骤 (1)根据向量共线的充要条件是建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参数)． (2)依据下述结论列方程组求参数． ①若a与b不共线，则λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b的充要条件是 ②若a与b不共线，m＝λ1a＋μ1b，n＝λ2a＋μ2b，则m∥n⇔λ1μ2＝λ2μ1. [跟踪训练3] (1)设e1，e2是两个不共线的非零向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝(　　) A．0 B．1 C．2 D. 解析：选D.因为向量m与向量n共线，所以设m＝λn(λ∈R)，所以－e1＋ke2＝λe2－2λe1，因为e1与e2不共线，所以所以故选D. (2)设e1，e2是两个不共线的非零向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________． 解析：由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线， 所以存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2. 因为e1，e2不共线，所以 解得或 因为ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，所以λ＝－，k＝－4. 答案：－4 1．(教材P97练习T1改编)已知e1，e2是不共线的非零向量，则下列各组向量中是共线向量的有(　　) ①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1＋e2，b＝3e1＋2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选A.①b＝a，故a∥b，②b＝12a，故a∥b，③不存在实数λ使b＝λa，故a，b不共线．故选A. 2．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a＝－2b B．a＝2b C．a∥b D．a∥b且|a|＝|b| 解析：选A.，均为单位向量，若＋＝0，则非零向量a，b反向共线，只有a＝－2b满足，故选A. 3．(教材P97练习T3改编)设e1与e2是两个不共线的非零向量，＝3e1＋2e2，＝ke 1＋e 2，＝3e 1－2ke 2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为(　　) A．－ B．－2 C．2 D. 解析：选A.由A，B，D三点共线可得，必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e 2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以解得故选A. 4．已知点P是线段AB的中点，且＝t＋(1－t)，则实数t的值为________． 解析：＝t＋(1－t)⇒－＝t(－)⇒＝t， 因为点P是线段AB的中点，所以t＝. 答案： 5．设向量a和b不平行，若向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，则实数λ＝____________． 解析：因为向量2λa＋8b与a＋λb反向共线，所以存在t(t<0)，使得2λa＋8b＝t(a＋λb)，即(2λ－t)a＋(8－tλ)b＝0，又向量a和b不平行，所以解得 答案：－2 1．已学习：共线(平行)向量基本定理、三点共线的证明(判断)、利用向量共线求参数． 2．须贯通：借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题． 3．应注意：利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊条件． 学科网（北京）股份有限公司 $