第2章 §3 3.1 向量的数乘运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学向量的数乘运算核心知识点，系统梳理数乘运算的定义、几何意义（方向与模的变化）、运算律（分配律、结合律等）及线性表示方法，承接向量加减法，为后续向量共线等知识铺垫，构建从实例到抽象再到应用的学习支架。 该资料以蚂蚁运动实例导入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过思考问题引导自主抽象数乘定义发展数学思维，结合梯形、三角形等几何图形例题，助力学生用数学语言表达向量关系。课中即时练助教师巩固教学，课后跟踪训练便于学生查漏补缺，强化知识应用。

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3．1　向量的数乘运算 新课导入 学习目标 一只蚂蚁做匀速直线运动，如果它向东运动1秒钟的位移对应的向量记为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算． 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 一　数乘运算的定义及几何意义 思考　已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 提示：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反． [知识梳理] 1．定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0． (2)|λa|＝|λ||a|． 2．几何意义 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 3．向量的单位化 由向量的数乘定义容易推出，在非零向量a方向上的单位向量是． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若λ＝0，则λa＝0.(　　) (2)若λa＝0，则λ＝0且a＝0.(　　) (3)对于非零向量a，向量3a与向量－2a方向相反．(　　) (4)对于非零向量a，－8a的模是4a的模的－2倍.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2025·北海月考)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a| 解析：选A．因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确；当λ<0时，a与－λa的方向相同，故B错误；当λ<0时，λ|a|<0，故C错误；当λ>0时，－λ|a|<0，故D错误． 3．若C在线段AB上，且＝，则(　　) A．＝ B．＝－ C．＝ D．＝－ 解析：选D．因为点C在线段AB上，所以，同向，，反向，故B，C错误；又||＝||，所以A错误；又，反向且||＝||，所以＝－，故D正确．故选D． 4．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则这个四边形是____________． 解析：因为 ＝，所以DC∥AB且DC＝AB，所以四边形ABCD为梯形． 又||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形． 答案：等腰梯形 对数乘向量的说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 二　数乘运算的运算律 思考　实数的乘法满足哪些运算律？ 提示：ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律). [知识梳理] 1．运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量． (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μ a)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 2．线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合). [例1] (1)(对接教材例1)计算：2(3a－2b)－6＝________． (2)(对接教材例2)若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________． 【解析】　(1)原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b. (2)因为(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0， 所以a－2c＋15c－12b＝0， 所以化简得13c＝12b－a， 所以c＝b－a. 【答案】　(1)4a－b　(2)b－a 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算． [跟踪训练1] (1)化简： ①－2； ②. 解：①原式＝(2a＋b)－a－b＝a＋b－a－b＝0. ②原式＝ ＝ ＝＝a－b. (2)已知3(2a－b＋c)＋x＝2(－a＋3b)，求x. 解：因为3(2a－b＋c)＋x＝2(－a＋3b)， 所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b， 即x＝－8a＋9b－3c. 三　用已知向量表示未知向量 [例2] (对接教材例3)(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD且DC＝2AB，E为BC上一点且BE＝2EC，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b (2)如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，用a，b分别表示，. 【解】　(1)选C．＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋－)＝＋＋＝＋＋＝＋＝a＋b. (2)因为＝3a，＝2b，所以＝－＝2b－3a.又因为D，E为边AB的两个三等分点，所以＝＝b－a，所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b. 用已知向量表示未知向量的一般步骤 注意　用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系． [跟踪训练2] (1)在△ABC中，若点D满足＝2，则＝(　　) A．＋ B．－ C．－ D．＋ 解析：选D．如图所示， 由题意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.故选D． (2)如图，矩形ABCD与矩形DEFG全等，且＝. ①用向量与表示，； ②用向量与表示，. 解：①因为＝，矩形ABCD与矩形DEFG全等，所以AB＝DE＝2DG＝2AD. 所以＝＋＝＋＝2＋＝2＋， ＝＋＝＋＝－. ②由①知 所以 1．要得到向量－2a，可将(　　) A．向量a向左平移2个单位长度 B．向量a向右平移2个单位长度 C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍 解析：选D．根据向量数乘的定义及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D． 2．(教材P94T2改编)若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　) A．－a B．－4b C．c D．a－b 解析：选A．3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.故选A． 3．(多选)(2025·萍乡月考)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，M是CD边上的中点，则可以表示为(　　) A．c－b B．c＋2b C．a＋b D．a－b 解析：选AC．易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋c，且c＝a＋b，所以a＋c＝a＋(a＋b)＝a＋b；a＋c＝(c－b)＋c＝c－b. 4．(教材P94T3改编)若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝____________． 解析：由题意知2x－a－b－c＋x＋b＝0，所以x＝a－b＋c，所以x＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 1．已学习：向量的数乘定义、数乘运算的运算律、向量的线性表示． 2．须贯通：向量的数乘运算及向量的线性表示． 3．应注意：数乘向量的结果仍是向量． 学科网（北京）股份有限公司 $