第2章 §2 2.2 向量的减法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量的减法这一核心知识点，基于向量加法的逆运算，通过相反向量定义向量减法（a - b = a + (-b)），结合三角形法则阐述几何意义（起点重合时，由减向量终点指向被减向量终点），构建从加法到减法的知识支架。 该资料以初中相反数及加减关系导入，用数学眼光建立新旧联系。通过三角形中点向量运算、平行四边形判定等例题与跟踪训练，培养几何直观和推理能力，体现数学思维。课中辅助教师演示几何意义，课后练习题帮助学生查漏补缺，提升向量运算与表达能力。

2．2　向量的减法 新课导入 学习目标 　　在初中，我们学过相反数，是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？在数的运算过程中，减法与加法是什么关系？在向量中是否有类似的内容呢？ 1.通过实例能用相反向量说出向量减法的意义． 2．掌握向量减法的运算及其几何意义． 3．能熟练地进行向量的加减运算． 一　向量的减法 思考　向量的减法与加法有什么关系？ 提示：向量的减法是向量加法的逆运算． [知识梳理] 1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b). 2．作图：如图，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝， 3．几何意义：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b. [例1] (1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－＝(　　) A． B． C． D． (2)(对接教材例4)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 【解】　(1)选D．如图，因为D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 所以＝，＝， 因此－＝－＝＝. (2)方法一：如图1，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二：如图2，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为减向量的终点指向被减向量的终点的向量． [跟踪训练1] (1)已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：选A．由－＝－，可得＝，所以四边形ABCD一定是平行四边形． (2)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连接CB，得向量＝a－b；再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，则向量即为所求作的向量a－b－c. 二　向量加减法的混合运算 [例2] 化简下列各向量的表达式： (1)＋－； (2)(－)－(－)； (3)(＋＋)－(－－)； 【解】　(1)＋－＝－＝. (2)(－)－(－)＝－＋－＝＋＋＝＋＝0. (3)(＋＋)－(－－)＝＋－(－)＝－＝0. (1)向量减法运算的常用方法 (2)利用三角形法则进行向量加、减法化简的两种形式 ①首尾相接且为和； ②起点相同且为差． [跟踪训练2] (多选)下列四个式子中能化简为的是(　　) A．－＋ B．＋(＋) C．(＋)＋(－) D．＋－ 解析：选ABC．－＋＝＋＝(或－＋＝0－＝)，故A正确；＋(＋)＝＋＋＝＋＝，故B正确；(＋)＋(－)＝－＝－＝，故C正确；＋－＝－，故D不正确． 三　向量加减法的综合应用 [例3] (1)如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c (2)已知||＝6，||＝3，则||的取值范围是__________． 【解析】　(1)由题图可知，＝＋＝－＋＝b－a＋c. (2)由题意得＝－，所以||＝|－|，所以|||－|||≤|－|≤||＋||，则3≤||≤9. 【答案】　(1)C　(2)[3，9] (1)表示向量的方法：首先要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道，然后利用向量的加减法及运算律表示向量． (2)向量加减法的几何意义：利用平面几何知识，得出||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的关系，灵活使用绝对值三角不等式． [跟踪训练3] (1)(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题是(　　) A．若|a|＋|b|>|a＋b|，则a与b方向相反 B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模 D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 解析：选BD．对于A，若|a|＋|b|>|a＋b|，则a与b方向相反或a与b不共线，A是假命题；对于B，C，若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反，B是真命题，C是假命题；对于D，若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同，D是真命题． (2)(2025·济源月考)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________． 解析：由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. 答案：a＋c－b 1．(教材P89T2改编)化简－＋＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B． 2．(多选)下列式子可以化简为的是(　　) A．＋－ B．－ C．＋ D．－ 解析：选AD．＋－＝－＝＋＝，－＝，故A，D选项正确，B，C选项不正确． 3．(2025·抚州月考)如图，在正六边形ABCDEF中，记向量＝a，＝b，则向量＝__________．(用a，b表示) 解析：连接BE，CF，交于点O(图略)，由正六边形的性质知＝，＝，所以＝－＝－，所以＝b－a. 答案：b－a 4．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为____________，|a－b|的最大值为____________． 解析：由向量的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17. 答案：7　17 1．已学习：向量的减法运算、向量减法的几何意义、向量加减法的运用． 2．须贯通：向量的减法运算通过相反向量可以转化为向量的加法运算，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想． 3．应注意：(1)忽略向量共起点时才可用向量的减法； (2)差向量连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点． 学科网（北京）股份有限公司 $