第2章 阶段提升(四) 平面向量的应用(范围：§6)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦平面向量应用，以正弦定理、余弦定理为核心，系统梳理边角互化方法，衔接三角形中线、角平分线问题及最值求解，构建从基础定理到综合应用的递进学习支架。 资料通过典型例题（如海上拦截问题）培养数学眼光，结合向量法、定理推理（如角平分线定理）发展数学思维，题型分类与跟踪训练助力课中教学实施，课后可通过方法总结与练习查漏补缺，提升应用能力。

阶段提升(四)　平面向量的应用(范围：§6) 题型一　正弦定理、余弦定理 1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a(cos B－1)－b(cos A－1)＝0.若a＝4，则b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D．因为a(cos B－1)－b(cos A－1)＝0，所以a·(－1)－b·(－1)＝0，所以－a－＋b＝0，－(a－b)＝0.所以a2－b2－c(a－b)＝0， 即(a－b)(a＋b－c)＝0. 因为a＋b－c>0，所以a－b＝0，即b＝a＝4. 2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇A发现在北偏东45°方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇B正以每小时10公里的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇A立即以每小时14公里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇B.则要在最短的时间内拦截住蓝方小艇B，红方侦察艇所需的时间为________小时，角α的正弦值为________． 解析：设红方侦察艇A经过x小时在C处追上蓝方的小艇B，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 在△ABC中，根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x×cos 120°，解得x＝2(负值已舍去)， 故AC＝28，BC＝20. 在△ABC中，根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 答案：2　 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos A sin (B＋C)＝sin A. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值． 解：(1)因为A＋B＋C＝π，所以2cos A sin (B＋C)＝2cos A sin A＝sin A， 因为0<A<π，所以sin A≠0， 所以cos A＝，所以A＝. (2)由题意得△ABC的面积S＝bc sin A＝，所以bc＝4.① 又a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2， 所以b2＋c2＝8.② 由①②得b＝c＝2. 边角互化的常用方法 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等． 题型二　三角形中的中线问题 [例1] (1)已知△ABC中，若A＝，c＝2，△ABC的面积为，D为边BC的中点，则AD的长度是(　　) A． B． C．1 D．2 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，A＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． 【解】　(1)选B．因为△ABC的面积为， 所以有bc sin A＝×b×2×＝，则b＝1. 由余弦定理可得，a＝＝＝， 因为D为边BC的中点，所以BD＝DC＝， 因为∠ADC＋∠ADB＝π， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝0， 即＋＝0，解得AD＝. (2)因为·＝3，所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， 因为＝(＋)，所以||2＝(＋)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝， 所以||＝，即AD的长为. 求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是边BC上的中线， (1)中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)； (2)向量法：2＝(b2＋c2＋2bc cos A). [跟踪训练1] 在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积为(　　) A． B． C． D． (附：sin2α＋cos2α＝1) 解析：选C．延长AD到点E使DE＝AD，连接CE， 因为BC边上的中线AD＝，所以△ABD≌△ECD， 所以CE＝AB＝2，AE＝2，且△ABC面积等于△ACE的面积． 在△ACE中，由余弦定理的推论得cos∠ACE＝＝＝－， 则sin ∠ACE＝＝. 所以S△ABC＝S△ACE＝AC·CE sin ∠ACE＝××2×＝. 题型三　三角形中的角平分线问题 [例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝(　　) A．－ B． C． D．± (附：sin2α＋cos2α＝1) 【解析】　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，所以112＝9c2＋c2－2×3c×c×，解得c＝4(负值已舍去).在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝. 【答案】　B 求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC， (1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； (2)内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝； (3)等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. [跟踪训练2] 在△ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，∠ACB的平分线为CM，交AB于点M，且a＝2，b＝，c＝1，则线段CM＝__________．(参考数据：sin ＝) 解析：由余弦定理的推论可得 cos ∠ACB＝＝＝， 因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝， 因为CM为∠ACB的平分线， 所以∠ACM＝∠BCM＝，且sin ＝， 所以S△ACB＝S△ACM＋S△BCM， 则××2×＝×·CM·＋×2·CM·，解得CM＝3－. 答案：3－ 题型四　三角形中的最值问题 [例3] 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a－2b，c)，n＝(cos C，cos A)，若m⊥n. (1)求角C的大小； (2)若c＝2， ①求△ABC面积的最大值； ②求△ABC周长的取值范围． 【解】　(1)因为m＝(a－2b，c)，n＝(cos C，cos A)，且m⊥n， 所以(a－2b)cos C＋c cos A＝0， 即a cos C＋c cos A－2b cos C＝0， 又a cos C＋c cos A＝a·＋c·＝b，所以b－2b cos C＝0，则cos C＝. 又0°<C<180°，所以C＝60°. (2)①由(1)知C＝60°，当c＝2时，由余弦定理得12＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 所以ab≤12，当且仅当a＝b＝2时，取等号． 所以S△ABC＝ab sin C≤×12×＝3. 故当a＝b＝2时，△ABC面积的最大值为3. ②由①知12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 由ab≤，得≤， 即(a＋b)2≤48.所以0<a＋b≤4. 又a＋b＞c＝2， 所以4＜a＋b＋c≤6. 故△ABC周长的取值范围为(4，6]. 解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围). [跟踪训练3] 在△ABC中，AC＝b，AB＝c，∠BAC＝120°，若D为BC的中点，且AD＝3，则b＋c的最大值为________． 解析：由题意得＝(＋)，则2＝(2＋2＋2·)＝(c2＋b2＋2cb cos ∠BAC)＝(b2＋c2－bc)＝9， 故b2＋c2－bc＝36，故36＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×()2＝(b＋c)2， 即b＋c≤12，当且仅当b＝c＝6时取等号，故b＋c的最大值为12. 答案：12 学科网（北京）股份有限公司 $