第2章 §2 2.1 向量的加法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量的加法这一核心知识点，从位移合成、力的合成实例引入，系统梳理定义、三角形法则、平行四边形法则、运算律（交换律和结合律）及实际应用，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“唐僧取经路线”等实例激发兴趣，通过思考问题引导推理，培养数学眼光与思维。例题结合几何直观，跟踪训练强化应用，助力课中教学与课后查漏，提升学生用数学语言解决问题的能力。

§2　从位移的合成到向量的加减法 2．1　向量的加法 新课导入 学习目标 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算． 1.借助实例理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义． 2．能熟练地运用平行四边形法则和三角形法则作出已知向量的和向量． 3．通过实例理解向量加法的结合律和交换律，并能熟练运用它们进行向量计算． 一　向量加法的定义及运算法则 思考1　在运动学中，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 提示：这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和． 思考2　在力学中，某物体同时受到两个力F1，F2的作用，如图所示，你能作出该物体所受的合力吗？ 提示：合力在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，大小等于对角线的长度． [知识梳理] 定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法 法则 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD 结论 有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 三角形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段 结论 向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 [例1] (对接教材例1)(1)如图1所示，求作向量a＋b； (2)如图2所示，求作向量a＋b＋c. 【解】　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图1所示． (2)方法一(三角形法则)：如图2所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求． 方法二(平行四边形法则)：如图3所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． (1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”，向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和． (3)当两个非零向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [跟踪训练1] 如图，请在图中直接标出下列向量的和： (1)＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＝，如图所示． (2)＋＋＋＝，如图所示． 二　向量加法的运算律 思考　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示：在如图1所示的平行四边形ABCD中，＝＝a，＝＝b，则在△ABC中，＝＋＝a＋b，在△ADC中，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法满足交换律． 如图2所示，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以在△ADC中，＝＋＝(a＋b)＋c，在△ADB中，＝＋＝a＋(b＋c)，从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律． [知识梳理] 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [例2] 如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋＝__________； (2)＋＋＝__________； (3)＋＋＝__________． 【解析】　(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)因为D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，所以＝，则＋＋＝＋＋＝＋＝. 【答案】　(1)　(2)　(3) 向量加法运算律的应用策略 (1)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e). (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [跟踪训练2] (1)＋＋＋＋＝(　　) A． B．0 C． D． 解析：选B．＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋0＝0.故选B． (2)已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|＝________． 解析：|＋＋＋|＝|(＋)＋(＋)|＝|＋|＝2||＝2. 答案：2 [例3] (对接教材例2)已知在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 【解】　作出图形，如图．设船速v船的方向与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， 所以cos α＝＝＝，又0°<α<90°， 所以α＝60°，从而船速的方向与水流方向成120°角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向． 母题探究1　若本例条件不变，求经过3 h，该船的实际航程是多少千米？ 解：由本例解图可知||＝·||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，则经过3 h，该船的实际航程是3×＝(km). 母题探究2　若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值． 解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，||＝|v水|＝10 m/min， 则tan ∠BAC＝2.所以船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2. 应用向量加法解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题． [跟踪训练3] (2025·南阳月考)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________N． 解析：一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力|G|＝|F1＋F2|， 因为F1，F2与水平方向夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，由向量加法的平行四边形法则可知F1＋F2的方向是竖直向上的，且|F1＋F2|＝2|F1|sin 45°＝2×10×＝10(N)，所以物体的重力大小为10 N． 答案：10 1．化简＋＋等于(　　) A． B．　　 C． D． 解析：选C．根据平面向量加法的运算律，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C． 2．(多选)(教材P87T3改编)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　) A．＋＋＝ B．＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 解析：选BCD．＋＋＝，故A错误；＋＝＋＝，故B正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝＋＝0，故D正确．故选BCD． 3．(教材P88T4改编)若向量a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则向量a＋b表示________________________． 解析：由题意知向量a＋b表示方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示向东南方向走 km. 答案：向东南方向走 km 4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________． 解析：|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 1．已学习：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、加法运算律、向量加法的实际应用． 2．须贯通：三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)三角形法则需要向量首尾相接； (2)平行四边形法则需要向量共起点． 学科网（北京）股份有限公司 $