2.2.2 向量的减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦向量的减法运算，承接向量加法，通过相反向量概念将减法转化为加法逆运算，构建“定义-几何意义-性质”知识支架，详解三角形法则“共起点，连终点，指向被减”，辅以“微点助解”强化关键要点。 采用梯度进阶式教学，设基础训练与四类题型（法则应用、加减运算、表示未知向量、几何应用），例题配“思维建模”提炼方法，如通过作图培养几何直观（数学眼光），化简训练发展推理能力（数学思维），几何应用体现数学语言表达空间关系。课中助力分层教学，课后供学生巩固查漏。

2.2　向量的减法 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算. 1.向量减法的定义及几何意义 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b) 几何意义 如图,给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b=a+(-b)=+=+=,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是a-b 2.向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0. (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0. (3)若a+b=0,则a=-b,b=-a. |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)向量减法满足三角形法则.如图,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (2)=-. (　　) (3)a-b的相反向量是b-a. (　　) (4)|a-b|<|a+b|. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.在△ABC中,=a,=b,则= (　　) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b 答案:C 3.在平行四边形ABCD中,-+= (　　) A. B. C. D. 答案:A 题型(一)　向量减法法则的应用 [例1]　(1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d. (2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 解:(1)如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则a-b=,c-d=. (2)法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c. 法二:如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 　　|思|维|建|模| 　　 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a-b. 　　[针对训练] 1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量a-b+c. 解:如图,连接BD, 则=a-b,作向量=c,连接DE, 则=+=a-b+c. 题型(二)　向量的加、减运算 [例2]　化简下列各式: (1)(+)+(--); (2)--; (3)(-)-(-). 解:(1)法一:原式=+++=(+)+(+)=+=. 法二:原式=+++=+(+)+=++=+0=. (2)法一:原式=-=. 法二:原式=-(+)=-=. (3)法一:(-)-(-)=(+)-(+)=-=0. 法二:(-)-(-)=(-)-(-)=-=0. 法三:在平面内任取一点O,则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=--+-++-=0. 　　|思|维|建|模| 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点. [提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. 　　[针对训练] 2.在▱ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是 (　　) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 解析:选B　a+b=+==c,故A正确;a-b=-=+==-d,故B错误;b-a=-==d,故C正确;c-a=-===b,故D正确. 3.化简:(1)--++; (2)(++)-(--). 解:(1)--++=++++=+=. (2)(++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [例3]　如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示. 解:=+=++=+-=c+b-a. 　　|思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的基本步骤 第一步:观察各向量的位置; 第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形; 第三步:运用法则找关系; 第四步:化简结果. 　　[针对训练] 4.如图所示,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,++. 解:=-=c-a,=-=d-a,-==-=d-b,+=-+-=b-a+f-c,-==-=f-d,++=0. 题型(四)　向量加减法的几何应用 [例4]　如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,用向量a,b表示,,并回答下面几个问题. (1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD? (2)当▱ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? 解:∵=a,=b,∴=a+b,=a-b. (1)当|a|=|b|时,▱ABCD为菱形,因为菱形的对角线互相垂直,所以AC⊥BD. (2)当▱ABCD为长方形时,因为长方形的对角线相等,所以|a+b|=|a-b|. 　　[变式拓展] 若将例题中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状. 解:由a+c=b+d,得a-b=d-c, 即-=-. ∴=.于是AB綉CD, ∴四边形ABCD为平行四边形. 又|a-b|=|a-d|,从而|-|=|-|, ∴||=||.∴四边形ABCD为菱形. 　　|思|维|建|模| (1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a. (2)在▱OACB中,=a,=b. ①若|a|=|b|,则▱OACB为菱形. ②若|a+b|=|a-b|,则▱OACB为矩形. ③若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则▱OACB为正方形. 　　[针对训练] 5.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.所以▱OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4. 学科网（北京）股份有限公司 $