第5章 §2 2.1 复数的加法与减法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数代数形式的加法与减法运算，从数集扩充引入复数运算问题，通过多项式加减类比抽象出运算法则，结合向量几何意义构建从代数到几何的知识支架。 资料以“数学眼光”抽象运算本质，“数学思维”推理运算律与几何联系，如例2用平行四边形法则解决复数几何问题。课中助教师系统教学，课后母题探究与跟踪训练帮学生巩固提升，培养数学表达与应用能力。

§2　复数的四则运算 2．1　复数的加法与减法 新课导入 学习目标 　　通过引进虚数单位i，我们把数集进行了扩充，实数可以进行四则运算，虚数单位i也可以与实数一起按照实数的运算法则进行运算．任意的两个复数又该如何进行运算呢？ 1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则． 2．理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义． 3．能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题． 思考　多项式(3a＋2b)＋(2a－3b)的运算结果是什么？多项式的加、减法遵循什么原则？ 提示：5a－b；合并同类项． [知识梳理] 对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R). (a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z1，z2，z3∈C，都有z1＋z2＝z2＋z1(交换律)，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律). [例1] (对接教材例1)计算： (1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________． (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． 【解析】　(1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i. (2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝＝. 【答案】　(1)1＋i　(2) (1)复数的加、减法类似于多项式的合并同类项． ①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． ②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项． (2)两个复数的加法(或减法)运算可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数． [跟踪训练1] (1)计算＋(2－i)－＝________． 解析：原式＝＋i＝1＋i. 答案：1＋i (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________． 解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即解得所以z＝4＋i. 方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 答案：4＋i 思考　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的加法运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d). 几何意义是以，为邻边的平行四边形的对角线． [知识梳理] 设z1，z2∈C，向量1，2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应，且1，2不共线 类别 加法 减法 几何意义 复数的和z1＋z2与向量1＋2＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量1－2＝的坐标对应 [例2] (对接教材例4)如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示复数0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)所对应的复数，所对应的复数； (2)对角线所对应的复数． 【解】　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 母题探究1　若本例条件不变，试求点B所表示的复数． 解：因为＝＋，所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所表示的复数为1＋6i. 母题探究2　若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M表示的复数． 解：由题意知，点M为OB的中点，则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M表示的复数为＋3i. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形来解决，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数与向量的对应关系得到复数间的关系. [跟踪训练2] 已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝1＋3i－(3＋i)＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限． [例3] 已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且复数z在复平面内的对应点为M. (1)确定点M的集合构成图形的形状； (2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值． 【解】　(1) 设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P(－2，2)， 则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝＝PM＝2，故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如图所示． (2)设复数1－2i在复平面内的对应点为Q(1，－2)，则|z－1＋2i|＝＝QM，如图所示，PQ＝＝5， 则|z－1＋2i|的最大值，即QM的最大值是PQ＋2＝7； |z－1＋2i|的最小值，即QM的最小值是PQ－2＝3. 母题探究　若本例条件不变，则|z|min＝__________，|z|max＝__________． 解析：因为|z＋2－2i|＝2， 所以||z|－|2－2i||≤|z＋2－2i|≤|z|＋|2－2i|，即 解得2－2≤|z|≤2＋2. 所以|z|min＝2－2，|z|max＝2＋2. 答案：2－2　2＋2 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数代数形式差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． (4)利用三角不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，求复数模的最值． [跟踪训练3] (2025·南昌期末)已知复数z满足＝1，则的取值范围是_________． 解析：＝1表示z对应的点Z1是以原点O为圆心，半径r＝1的圆上的点， |z＋2＋i|＝|z－(－2－i)|的几何意义表示圆O上的点Z1和Z2(－2，－)之间的距离， 于是，的最大值为＋r＝＋1＝4，最小值为－r＝－1＝2， 所以的取值范围是. 答案： 1．(教材P183T1改编)已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝ (　　) A．－4＋20i B．－2＋10i C．－8＋20i D．－2＋20i 解析：选B.z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.故选B. 2．(多选)已知m∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则 (　　) A．m＝－4 B．|z2|＝2 C．1＝－4－3i D．复数1的虚部为－3i 解析：选AC.由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，1＝－4－3i，故C正确；对于D，复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC. 3．已知a∈R，复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i，且z1－z2为纯虚数，则a＝___________. 解析：因为z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， 所以解得a＝－1. 答案：－1 4．复数z1＝2＋2i与z2＝3－5i在复平面内对应的点之间的距离为________． 解析：由题意可知，z1，z2在复平面内对应的点之间的距离为|z1－z2|＝|－1＋7i|＝5. 答案：5 1．已学习：复数代数形式的加、减运算法则及其几何意义． 2．须贯通：对于复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值． 3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向； (2)两个复数差的模的几何意义． 学科网（北京）股份有限公司 $