第2章 §1 从位移、速度、力到向量（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量的概念及几何表示、零向量与单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量、向量的夹角等核心知识点。从军事演习、航行指令等实际问题导入，通过思考探究引出向量概念，再系统梳理相关概念，结合例题与跟踪训练巩固，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以实际情境导入，如军事演习中导弹发射需距离和方向，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过思考问题、知识梳理及例题解析，培养数学思维中的推理能力，如判断向量关系、计算夹角。用有向线段和符号规范表示向量，强化数学语言表达。课中辅助教师引导概念建构，课后通过即时练和总结帮助学生查漏补缺，巩固知识。

§1　从位移、速度、力到向量 新课导入 学习目标 在一次军事演习中，某导弹部队接到射击某目标的命令．要使导弹击中目标，不仅需要知道目标与导弹发射地点间的距离，还需要知道导弹发射的方向．可用本节所要学的平面向量来表示． 1.通过实例了解向量的有关概念，掌握向量的表示方法． 2．理解相等向量、共线向量的概念． 3．会借助图形理解向量的夹角的概念，能在图形中识别向量的夹角． 一　向量的概念及几何表示 大海中A，B两地相距15 n mile，位置如图．小船欲由A地航行到达B地． 思考　怎样下达航行指令，小船才能到达B地？ 提示：沿东南方向，航行15 n mile. [知识梳理] 1．概念：既有大小又有方向的量统称为向量． 2．表示： (1)有向线段：具有方向和长度的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示： [例1] 如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100m后到达点C，最后向东走了200 m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【解】　(1)根据题意可知，点B 在坐标系中的坐标为(－200，0).因为点D在点B的正北方，点C在点D的正西方，所以BD⊥AB，BD⊥CD．又||＝100 m，||＝200 m，所以||＝300 m，即D(－200，300)，C(－400，300). 作出，，，如图所示． (2)由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200 m， 所以四边形ABCD是平行四边形， 则||＝||＝100 m． 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 [跟踪训练1] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为________． 解析：由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：，，，，，，，，，，，，共12个． 答案：12 (2)如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 解：上午的位移为，下午的位移为，这一天内的位移为，如图． 二　零向量与单位向量 思考　在实数中，有“0”这样特殊的数，在向量中，终点与起点重合的向量的模是多少？ 提示：模为0. [知识梳理] 向量名称 定义 零向量 长度为 0的向量，记作 0或0 单位向量 模等于1个单位长度的向量 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)向量的模都是正实数．(　　) (2)单位向量只有一个．(　　) (3)向量的大小与方向无关．(　　) (4)方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小．(　　) 答案：(1)× 　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)(2025·汉中月考)下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 解析：选BD．对于A，B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；对于C，D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确． 理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，零向量的模为0. (2)单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，所有的终点构成一个单位圆． 三　向量的基本关系 思考1　如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小相等，方向相同． 思考2　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同． [知识梳理] 向量名称 定义 共线向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b. 规定：零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 长度相等、方向相反的向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a. [例2] (对接教材例2)如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形，图中画出了若干个向量． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线，且模相等的向量． 【解】　(1)与向量相等的向量：′，. (2)与向量共线，且模相等的向量：，′，，，. 母题探究　在本例条件下，写出与向量方向相同的向量． 解：与向量方向相同的向量：，，，，，，. 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量． [跟踪训练2] (1)(多选)(2025·淮北月考)给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　) A．若a≠b，则a与b可能是共线向量 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” 解析：选ABC．若a≠b，可能存在这样的情况：两向量方向相同但长度不同，或两向量方向相反，此时它们仍为共线向量，A正确；因为A，B，C，D是不共线的四点，＝，所以AB∥CD，AB＝CD，故四边形ABCD为平行四边形，若四边形ABCD为平行四边形，则＝，所以“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，B正确；根据向量相等的定义，由a＝b，b＝c可得a＝c，C正确；当|a|＝|b|且a，b方向相反时，a≠b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|且a∥b”的充分不必要条件，D错误． (2)如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． ①与向量相等的向量为________； ②若||＝3，则向量的模等于________． 解析：①在平行四边形ABCD和ABDE中，因为＝，＝，所以＝. ②因为AB∥ED，AB∥DC，且ED与DC有公共点D，所以E，D，C三点共线， 所以||＝||＋||＝2||＝6. 答案：①，　②6 四　向量的夹角 思考　如图，线段AB与CD交于点O，在所形成的角中，若我们把∠AOC称为与的夹角，则与的夹角是哪个角？∠BOC是哪两个向量的夹角？ 提示：∠AOD是与的夹角；∠BOC是与的夹角． [知识梳理] 1．夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． 2．垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [例3] (对接教材例3)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°.则 (1)向量与的夹角为(　　) A．40° B．50° C．60° D．80° (2)向量与的夹角为(　　) A．50° B．100° C．130° D．140° (3)向量与的夹角为________． 【解析】　(1)向量与的夹角为∠ADB. 由菱形的性质知，在△ABD中， ∠ADB＝＝＝50°. (2)由于∠DBC＝＝50°. 延长DB至B′，使BB′＝BD(图略)，则＝，所以向量与的夹角即与的夹角，为180°－∠DBC＝180°－50°＝130°. (3)由于∠CAB＝＝40°，延长CA至A′，使AA′＝AC(图略)，则＝，所以向量与的夹角，即与的夹角为180°－∠CAB＝180°－40°＝140°. 【答案】　(1)B　(2)C　(3)140° 求向量的夹角要注意：①方向性；②向量夹角的范围为[0，π]. [跟踪训练3] (1)在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是(　　) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 解析：选B．因为三角形ABC为锐角三角形，则 对于A，与的夹角是钝角，A错误； 对于B，与的夹角是锐角，B正确； 对于C，与的夹角是锐角，C错误； 对于D，与的夹角是钝角，D错误． 故选B． (2)已知单位向量e1与e2的夹角为，则e1与－e2的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．向量e2与向量－e2方向相反，故e1，e2的夹角与e1，－e2的夹角互补，即e1与－e2的夹角为. 1．(2025·桂林月考)若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式中正确的是(　　) A．|a|≥|b| B．a∥b C．|a|>0 D．a⊥b 解析：选C．|a|的大小不能确定，A错误；两个非零向量的方向不确定，B，D错误；非零向量的模是正实数，C正确． 2．(多选)(教材P81T3改编)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．与共线 D．＝ 解析：选ABC．因为O是正方形ABCD的中心，所以AO＝BO＝OC.A中，因为与方向相同，长度相等，故A正确；B中，||＝||，故B正确；因为AB∥DC，所以与共线，故C正确；因为与方向不同，所以二者不相等，故D错误．故选ABC． 3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是____________． 解析：因为向量a与b的夹角为60°，所以向量－a与 －b 的夹角是60°. 答案：60° 4．在如图所示的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O的正西方向； (2)|| ＝3，点B在点O的北偏西45°方向． 解：(1)因为||＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示． (2)因为||＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示． 1．已学习：向量的概念及表示，向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、向量的夹角． 2．须贯通：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的，共线向量所在的直线可以平行或者重合． 3．应注意：(1)零向量模为零，方向是任意的，不是没有方向； (2)所有的单位向量模都是1，方向未必相同； (3)求向量夹角时，两向量的起点需移到同一点处． 学科网（北京）股份有限公司 $