2.1 从位移、速度、力到向量(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦向量的概念及表示，系统梳理从位移等实际情境抽象出向量的定义，涵盖零向量、单位向量、相等向量、共线向量及夹角等核心知识点，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料以“小船航行”等现实问题为情境，引导学生用数学眼光观察数量关系与空间形式，通过例题变式训练培养数学思维的逻辑性，借助有向线段和坐标等数学语言表达向量，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

§1　从位移、速度、力到向量 1.通过实例了解向量的有关概念，掌握向量的表示方法．　2.理解相等向量、共线向量的概念．　3.会借助图形理解向量的夹角的概念，能在图形中识别向量的夹角． 大海中A，B两地相距15 n mile，位置如图．小船欲由A地航行到达B地． 思考1　怎样下达航行指令，小船才能到达B地？ 提示：沿东南方向，航行15 n mile. 思考2　此过程中小船位移的大小和方向是什么？ 提示：小船位移的大小是15 n mile，方向是东南方向． 1．概念：既有________又有________的量统称为向量． 2．表示： (1)有向线段：具有________和长度的线段，它包含三个要素：________、方向、长度． (2)向量的表示： [答案自填] 大小　方向　方向　起点 长度　|| 　如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100m后到达点C，最后向东走了200 m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【解】　(1)根据题意可知，点B 在坐标系中的坐标为(－200，0)．因为点D在点B的正北方，点C在点D的正西方，所以BD⊥AB，BD⊥CD. 又||＝100 m，||＝200 m，所以||＝300 m，即D(－200，300)，C(－400，300)． 作出，，，如图所示． (2)由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200 m， 所以四边形ABCD是平行四边形， 则||＝||＝100 m. 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 [跟踪训练1] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为________． 解析：由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：，，，，，，，，，，，，共12个． 答案：12 (2)如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 解：上午的位移为，下午的位移为，这一天内的位移为，如图． 向量名称 定义 零向量 长度为 ____________的向量，记作 ________或0 单位向量 模等于________长度的向量 [答案自填] 0　0　1个单位 【即时练】 1．下列说法中，正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的方向都是相同的 C．单位向量都是同方向 D．单位向量的长度都相等 解析：选D.对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误；对于B，零向量的方向是任意的，故错误；对于C，单位向量只是模都为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故错误；对于D，模等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故正确． 2．下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量的方向与大小都相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 解析：选C.零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，所有的终点构成一个单位圆． 向量名称 定义 共线向量(平行向量) 方向____________的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b. 规定：零向量与任一向量________，即对于任意的向量a，都有0∥a 相等向量 长度________且方向________的向量．向量a与b相等，记作a＝b [答案自填] 相同或相反　共线　相等 相同 　(对接教材例2)如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形，图中画出了若干个向量． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线，且模相等的向量． 【解】　(1)与向量相等的向量：′，. (2)与向量共线，且模相等的向量：，′，，，. 【变式探究】 (设问变式)在本例条件下，写出与向量方向相同的向量． 解：与向量方向相同的向量：，，，，，，. 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量． [跟踪训练2] (1)设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是(　　) A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 解析：选B.因为的起点为A，与的起点为O，所以不是共起点的向量，故A错误；因为点O是正三角形ABC的中心，所以，，是模相等的向量，不是共线向量，也不是相等向量，故B正确，C，D错误． (2)如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． ①与向量相等的向量为________； ②若||＝3，则向量的模等于________． 解析：①在平行四边形ABCD和ABDE中， 因为＝，＝，所以＝. ②因为AB∥ED，AB∥DC，且ED与DC有公共点D， 所以E，D，C三点共线， 所以||＝||＋||＝2||＝6. 答案：①，　②6 1.夹角：已知两个____________a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝________(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示)． 当θ＝0°时，a与b________；当θ＝180°时，a与b________． 2．垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [答案自填] 非零向量　∠AOB　同向　反向　垂直 　(对接教材例3)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°.则 (1)向量与的夹角为(　　) A．40° B．50° C．60° D．80° (2)向量与的夹角为(　　) A．50° B．100° C．130° D．140° (3)向量与的夹角为________． 【解析】　(1)向量与的夹角为∠ADB. 由菱形的性质知，在△ABD中， ∠ADB＝＝＝50°. (2)由于∠DBC＝＝50°. 延长DB至B′，使BB′＝BD(图略)，则＝，所以向量与的夹角即与的夹角，为180°－∠DBC＝180°－50°＝130°. (3)由于∠CAB＝＝40°，延长CA至A′，使AA′＝AC(图略)，则＝，所以向量与的夹角，即与的夹角为180°－∠CAB＝180°－40°＝140°. 【答案】　(1)B　(2)C　(3)140° 求向量的夹角要注意：①方向性；②向量夹角的范围为[0，π]． [跟踪训练3] (1)在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是(　　) A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 解析：选B.因为三角形ABC为锐角三角形，则 对于A，与的夹角是钝角，A错误； 对于B，与的夹角是锐角，B正确； 对于C，与的夹角是锐角，C错误； 对于D，与的夹角是钝角，D错误． 故选B. (2)若向量a与b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角是____________． 解析：因为向量a与b的夹角为60°，所以向量a与－b的夹角是120°. 答案：120° 1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　) A．s＞|a|　　　　　 B．s＜|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 解析：选A.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s＝200＋300＝500 (km)，|a|＝＝100 (km)，所以s＞|a|.故选A. 2.(多选)(教材P81T3改编)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B．||＝|| C.与共线 D.＝ 解析：选ABC.因为O是正方形ABCD的中心，所以AO＝BO＝OC.A中，因为与方向相同，长度相等，故A正确；B中，||＝||，故B正确；因为AB∥DC，所以与共线，故C正确；因为与方向不同，所以二者不相等，故D错误．故选ABC. 3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是____________． 解析：因为向量a与b的夹角为60°，所以向量－a与 －b 的夹角是60°. 答案：60° 4．在如图所示的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O的正西方向； (2)|| ＝3，点B在点O的北偏西45°方向． 解：(1)因为||＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示． (2)因为||＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示． 1．已学习：向量的概念及表示，向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、向量的夹角． 2．须贯通：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的，共线向量所在的直线可以平行或者重合． 3．应注意：(1)零向量模为零，方向是任意的，不是没有方向； (2)所有的单位向量模都是1，方向未必相同； (3)求向量夹角时，两向量的起点需移到同一点处． 学科网（北京）股份有限公司 $