第1章 阶段提升(二) 三角函数的图象与性质(范围：§5～§7)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三角函数的图象与性质，系统梳理定义域、周期性、奇偶性、对称性、单调性及最值等核心内容，构建从基础性质到对称性分析再到参数问题求解的学习支架，助力知识逐步深化。 资料通过题型分类（图象性质、对称性、参数问题），结合例题解析与跟踪训练，运用整体代换、数形结合等方法，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观），课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

阶段提升(二)　三角函数的图象与性质 (范围：§5～§7) 题型一　三角函数的图象与性质 1．下列函数中，最小正周期为π，且在区间上单调递减的是(　　) A.y＝sin B．y＝cos x C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x 解析：选D.在A选项中，函数y＝sin 的最小正周期为2π，不符合条件；在B选项中，函数y＝cos x的最小正周期为4π，不符合条件；在C选项中，函数y＝sin 2x的最小正周期为π，但是在上不单调，不符合条件；在D选项中，函数y＝cos 2x的最小正周期为π，且在上单调递减，符合条件． 2．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　) 解析：选D.当<x<π时，tan x<sin x， 则y＝2tan x<0，故排除A，B；当x＝π时，y＝0；当π<x<时，tan x>sin x， y＝2sin x，且－2<y<0，故排除C. 3．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________． 解析：令g(x)＝x3cos x，定义域为R，关于原点对称，所以g(－x)＝(－x)3cos (－x)＝－x3cos x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1， 所以f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10， 所以f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9. 答案：－9 三角函数的图象与性质主要包括以下几个方面的内容：三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等．整体代换是研究与三角函数有关问题的基本方法，数形结合是研究三角函数问题的重要数学思想． 题型二　三角函数的对称性 [例1] (多选)已知x＝为函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)图象的一条对称轴，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点(，0)对称 C．f(x)在区间(0，)上单调递减 D．函数y＝f(x－)为偶函数 【解析】　因为x＝为函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)图象的一条对称轴， 所以f()＝cos (＋φ)＝±1， 故＋φ＝kπ，k∈Z， 因为0＜φ＜π，所以令k＝1，解得φ＝，得到f(x)＝cos (2x＋).对于A，T＝＝π，则f(x)的最小正周期为π，故A正确；对于B，f()＝cos (＋)≠0，即f(x)的图象不可能关于点(，0)对称，故B错误； 对于C，因为x∈(0，)， 所以2x＋∈(，π). 令t＝2x＋，t∈(，π)， 则原函数化为g(t)＝cos t，t∈(，π)，由余弦函数性质得g(t)在上单调递减，得到f(x)在区间上单调递减，故C正确； 对于D，因为f(x)＝cos (2x＋)，所以f(x－)＝cos [2(x－)＋]＝cos (2x－)，　 令h(x)＝f(x－)＝cos (2x－)， 而h(－x)＝cos (－2x－)＝cos (2x＋)，得到h(x)≠h(－x)，则函数y＝f(x－)不是偶函数，故D错误． 【答案】　AC (1)正弦曲线y＝sin x对称中心的坐标是(kπ，0)(k∈Z).正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x＝＋kπ(k∈Z). (2)余弦曲线的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(＋kπ，0)(k∈Z). (3)正切曲线的对称中心为(，0)(k∈Z)，没有对称轴． [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝cos (4x－)＋2图象的一个对称中心为(　　) A．(，2) B．(，2) C．(，2) D．(，2) 解析：选A.令4x－＝kπ＋(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z). 所以当k＝0时，x＝，故(，2)满足条件． (2)若方程sin (2x－)＝－在(0，π)上的解为x1，x2，则sin (x1＋x2)的值为________． 解析：令2x－＝kπ＋，k∈Z， 即f(x)＝sin (2x－)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z， 由x∈(0，π)，可得2x－∈(－，)， 因为sin (2x－)＝－在(0，π)上的解为x1，x2，可得x1，x2关于直线x＝对称， 所以x1＋x2＝， 则sin (x1＋x2)＝sin ＝. 答案： 题型三　三角函数中的参数问题 角度1　利用周期性、对称性求参数 [例2] (1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)图象的两个相邻对称中心为(，0)，(，0)，则φ＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)设函数f(x)＝3sin (ωx＋)(ω＞0)与函数g(x)＝2cos (3x＋φ)(|φ|≤)图象的对称轴完全相同，则φ的值为________． 【解析】　(1)由f(x)图象的两个相邻对称中心为(，0)，(，0)，可得－＝＝， 所以T＝＝π，又ω>0，故ω＝2， 又×2＋φ＝kπ，k∈Z， 则φ＝kπ－，k∈Z， 结合|φ|＜，得φ＝－. (2)由题意可知，g(x)与f(x)周期相同，故ω＝3，f(x)＝3sin .对于函数g(x)＝2cos (3x＋φ)(|φ|≤)，令3x＋φ＝k1π(k1∈Z)，解得x＝(k1∈Z)， 对于函数f(x)＝3sin (3x＋)， 令3x＋＝k2π＋(k2∈Z)， 解得x＝(k2∈Z)， 所以＝， 又|φ|≤，解得φ＝. 【答案】　(1)A　(2) 三角函数的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为， 相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值． 角度2　利用单调性、最值求参数 [例3] 已知函数f(x)＝cos (ωx－)是区间上的增函数，则正实数ω的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，) C． D．(0，2] 【解析】　因为x∈ ， 所以ωx－∈， 又因为函数f(x)＝cos (ωx－)是区间上的增函数，所以－ω－≥－π， 解得ω≤，又ω＞0，所以0＜ω≤，所以正实数ω的取值范围是. 【答案】　C (1)根据三角函数的单调性求参数的范围，要把已知条件转化为集合的包含关系，进而建立参数满足的不等式(组)求解． (2)利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 角度3　利用零点求参数 [例4] 函数y＝sin (ωx－)(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有3个零点，则实数ω有(　　) A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【解析】　令ωx－＝kπ，k∈Z ，则函数的零点为x＝(kπ＋)，k∈Z， 所以函数在y轴右侧的四个零点分别是，，，，又函数y＝sin (ωx－)(ω＞0)在[0，π]上有且仅有3个零点， 所以解得≤ω＜， 所以实数ω有最小值为，无最大值． 【答案】　D 三角函数两个相邻零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的值或取值范围． [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于原点对称，则φ的值可以是(　　) A．0 B． C． D．π 解析：选C.由题意得f(x)为奇函数，可得φ＝＋kπ，k∈Z， 当k＝0时，φ＝. (2)设ω＞0，f(x)＝sin ωx，若函数y＝f(x)，x∈的最大值为1，但最小值不为－1，则ω的取值范围是____________． 解析：设t＝ωx，则y＝sin t， 由x∈，ω>0， 则t＝ωx∈， 又y＝sin t的最大值为1，但最小值不为－1，所以解得1≤ω＜. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $