1.6.1 探究ω对y= sinωx&1.6.2 探究φ对y = sin(x+φ)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s)·必修第二册 规律方法 ◇[变式训练] 求三角函数最值的两种基本类型 4已知函数y=aco (1)将三角函数式化为y=Acos(ux十p)十 2z+5)+3,x∈[0]的最大 值为4，求实数a的值. 的形式，结合函数图象求最值 (2)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的 二次函数的形式，利用二次函数的性质 和有界性求最值. 随堂。步步夯实 1.用五点法作y=2cosx一1在[0,2π]上的图象 41π 时，应取的五点为 A.a>c>b B.c>b>a A.01.(0,-③02x, C.c>a>b D.b>c>a B01.(经-，3.（经-2,1 4.函数y=2cos 2x+儿xe[-吾，])的值 域为 C.(0,1),(元，-3)，(2元，1)，(3π，-3)，(4π，1) D.1(6-(0(受-1 5.求函数y=2 一cosx的定义域. - 2.下列函数中，在[干，]上为减函数的是 ( A.y-cos2x+) B.y=co(2x+到 C.y=cosx- D.y-cos+ C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 §6.函数y=Asin(wx十p)的性质与图象 6.1探究w对y=sinw.x的图象的影响 6.2探究p对y=sin(x十p)的图象的影响 课程标准 素养解读 1.结合具体实例，了解y=sin(wx十p)的实际意义 1.通过学习y=sin(wx十p)的图象，培养学生 2.能借助图象了解参数w,φ的意义 数学抽象和直观想象素养 3.了解参数w,p对函数图象的影响 2.通过对三角函数的图象变换，提升逻辑推 理素养 课前。预习学案 [情境引入] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使 用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描 绘了筒车的工作原理如图 ·34· 第一章三角函数 五维课堂兰 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一 个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的 4.当x十9=2kx十2，k∈Z时y最大值为1： 函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的 当wx十p=2k元- A∈Z时y最小值为-1. 相对高度与时间的关系吗？ 其他性质：函数y=sin(cax十p)周期的倒数 =元为函数y=sin(十p)的频率，函数y sin(wx十9)中通常称p为初相，wx十p为 [知识梳理] 相位 [知识点一]常数w,p对函数y=sin(wx十g) 2思考4.如何画出函数y=sin(awx十p)在 图象的影响 1.w(w>0)对函数图象的影响 个周期上的图象？ 图象上点的纵坐标保持不变 y=sin x →y=sin wx. 横坐标变为原来的】 2.9对函数图象的影响 当9>0时，图象向左平移个单位 y=sin1当<0时，图象向右平移9个单位y= sin(x+o) 2思考1.由一般的函数f(x)的图象怎样得 [预习自测] 到函数f(x十a)的图象？ 1.函数y=sin2x的最小正周期为 A.受 B.元 C.2π D.4π 2.要得到y=sin3x的图象 2.怎样把函数y=sin(x+p)的图象变换为 A,只需将函数y=sinx的图象向右平移号个 y=sinx的图象？ 单位长度 B.只需将函数y=sinx的图象上每一点纵坐 标不变，横坐标缩短到原来的兮 C.只需将函数y=sinx的图象上每一点纵坐 3.由y=sin wx(w>0)的图象得到y= 标不变，横坐标伸长到原来的3倍 sin(wx十p)的图象是如何平移的呢？ D.只需将函数y=3sinx的图象上每一点纵 坐标伸长到原来的3倍，横坐标也伸长到 原来的3倍 3.为了得到函数y=sinx一 元 3 的图象，只需把 函数y=sinx的图象 ( [知识点二] 函数y=sin(wx十9)（ω≠0）的 A.向左平移登个单位长度 性质 B.向右平移买个单位长度 3 1.定义域：R 2.值域：[-1,1]. C向上平移答个单位长度 3.周期：最小正周期T=2π D.向下平移个单位长度 ·35· 世五维课堂 数学s·必修第二册 课堂。互动学案 题型二 正弦型函数的周期 规律方法 [例1]求下列函数的周期： 1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)=sin(ux十9) (1)y=sim2x+T)月 的图象，实质是利用函数的三个零点、两 个最值点画出函数在一个周期内的 +晋 1 (2)y=sin- 图象. (3)sin 2x. 2.“五点法” 作定区间上图象的关键是列表，列表的 方法是： ①计算x取端点值时ωx十9的范围； ②取出wx十9范围内的“五点”，并计算 出相应的x值； ③利用ωx十9的值计算y值； ④描点(x,y),连线得到函数图象 3.用“五点法”作函数y=sin(wx十p)图象 的步骤 规律方法 第一步：列表】 对于形如y=sin(wx十p)(w≠0)的函数的 w十9 0 元 最小正周期的求法，常直接利用T一 2来 0 2 2π x 93π92π 求解，对于形如y=|sin wx的函数的周期 2w 情况常结合图象法来求解， 0 1 0 -1 0 ◇[变式训练 第二步：在同一坐标系中描出各点. 1.(1)函数y=sin ∈R的周 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成 期T= 图象. (2)若函数y=sin(wx+p)(w≠0)的周期为 ◇[变式训练】 3元，则w 题型三“五点法作函数y三sin(ar十p)的图象 2.利用“五点法”作出函数y=sn2:一)在 个周期（闭区间）上简图. [例2]作出y=sim2x+平)的图象， 汇思路点拔了“利用“五点法”作出一个周期 内的图象，然后按周期扩展 ·36· 第一章三角函数 五维课堂兰 题型函数y三sin(ax十g)的商象变换 汇思路点拔了依据图象变换求”，口的值.再 [例3]将y=sinx的图象怎样变换可得到函数 把wx十p看作一个整体，代入y=sinx的 y=sin(2x+星)的图象g 性质求解， 思路点拨]先做周期变换，再做相位变 换，也可以先做相位变换，再做周期变换. 规律方法 1.函数y=sin(wx十p)单调性问题的解题 策略 求y=sin(wx十p)的单调区间时，首先 把x的系数ω化为正值，然后利用整体 代换，把wx十p代入相应不等式中，求 出相应的自变量x的范围. 规律方法 2.确定y=sin(w.x十p)中参数p的方法 y=sinx到y=sin(wx十p)的变换 (1)把图象上的一个已知点的坐标代入 (1)变换的要点： 来求； ①w(w>0):纵坐标不变，横坐标变为 (2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求， 具体如下：利用“第一点”（即图象上升 原来的1倍， 时与x轴的交点)时，令ωx十9=0；利 用“第二点”（即图象的“峰点”）时，令 ②0：左右平移的单位是 (2)变换的方向：进行图象变换时还要注意 ux十9=受：利用“第三点”时，令ar十9 变换的顺序，分清是由哪一个函数变换 =π；利用“第四点”（即图象的“谷点”） 到另一个函数. 微提醒：三角函数图象的伸缩变换的实质 时，令r十9=号：利用“第五点“时。 是对函数图象的各点的横坐标的伸缩和纵 令wx十9=2元： 坐标的伸缩变化， ◇[变式训练] ◇[变式训练] 4.设函数f(.x)=sin2x- 3.要得到函数y=sin2x十否）的图象，只要将函 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增 数y=sin2x的图象 ( ) 区间； A.向左平移答个单位长度 (2)求函数f(x)在区间[答，]上的最小值和 最大值，并求出取最值时x的值， B.向右平移零个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移答个单位长度 题型四 y三sin(r十p)的性质应用 [例4]函数y=sim(ax十9)(w>0,0≤≤)在 x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小 值，且当x=元时，最大值为1，当x=6π时，最 小值为一1. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间. ·37· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 ● 随堂。步步夯实 ● 1.函数y=sin 3 4.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩 6 的最小正周期为( A受 n 短到原来的合（纵坐标不变）得 的 B.2x 4元 C. 图象， 2.将函数y=sin+否(x∈R)的图象上所有 5.将函数y=simx的图象上所有点向左平移罗 的点向左平移于个单位长度，再把图象上各点 个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原 来的2倍，求所得图象的函数解析式. 的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的 解析式为 A.y=sin 〔2x+ (x∈R) B.y=sin + 12 (x∈R) C.y=sin 12 (x∈R) D.y=sin xL5π 2T24 (x∈R) 3.设g(x)的图象是由函数f(x)=sin +2 的图象向左平移苓个单位得到的，则g 等于 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 A.1 B.- C.0 D.-1 6.3 探究A对y=Asin(wx十p)的图象的影响 课前。预习学案 [情境引入] (1)定义域：R 1.若函数y=Asin(wx十p)是奇函数，则9应满 (2)值域：[一AA].当x=亚-2+2(k∈ZD时，y 足什么条件？ 2.若函数y=Asin(w.x十o)(A>0,w>0)为偶函 数，则9应满足什么条件？ 取得最大值A:当一-名十德(e) 时，y取得最小值一A. (8)单调性：由2kx-<ax十p≤2kx+受， k∈Z,解得单调递增区间； [知识梳理] [知识点一] 正弦型函数y=Asin(w.x十g)中， 由2x+≤ux十p≤2x+经A∈Z,解得单 A,w,p的物理意义 调递减区间 1.振幅： (4)奇偶性：当9=kπ(k∈Z)时，函数为奇函数； 2.初相： 当9=x十登(k∈2)时，函数为偶函数。 3.周期： 4.频率：f= (5)周期性：T=2r [知识点二函数y=Asin(wx十g)(A之0： w>0)的性质 (6)对称性：直线x=无一卫+π(k∈Z)都是其 2w ww 根据函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0)的图 象，我们可以得到函数y=Asin(wx十p)(A≥ 对称轴；点 号+仁0小水∈》都是其对称 0,w>0)的性质. 中心 ·38·世五维课堂 [例3】[解]y-3cas(行)=3co(受-号)） 交≤2kk∈D 解得x一合<红十号∈D, “画教y=30s(管-兰)的单润递增区间为 [号小e 变式训练 3.A[函数y= 2 c0sx的单调递减区间是[x+2kx,2x+2kx]k ∈Z),单调递增区间是[2kπ，π十2k](k∈ZD. x∈(0,2x),y= 0sx在(0，m)上是增函数，在[，2x)上是 2 减函数.门 [例4][解]y=3cos2x-4cosx十1 (号)广日 []m[] 从而当c0sx=一 即x时以号 当c0Sx= 1 之·即x三3=4 致为[子] 变式训练 4解[0受]2+号∈[] 当a>0m(2a+号）时y取得最大值分+3 六2a+3=4a=2 当a<0,a(2z十号)=-1时y取得最大值一a+3, .-a十3=4，.a=-1, 综上可知，实数a的值为2或-1. 随堂步步夯实 1.B[当x=0时，y=1:当x=受时0=-1当x=元时y一3：当 受时y=-1当=2时y=1故选 2D[当[]时x+晋∈[] y=cosx在[0，π]上递减. 所以y一（十吾）产[晋受]小上递减.] 3.A [b=sin 7π 票，因为晋>平>登且y=sx在(0)上是单 调递减函数，所以a>c>b.] 4解：【吾] 2+晋[] ∴cos2+ )[2 ∴.该函数的值域为[一1,2]. 答案：[一1,2] 5.解：可以利用余弦函数的图象来解决.要使函数 有意义，需2 ≥0，aK2, 则由图象可得定义域为 {2+<2m+警6c 数学s·必修第二册 §6.函数y=Asin(wx十o)的性质与图象 6.1探究w对y=sin an的图象的影响 6.2探究9对y=sin(x十p)的图象的影响 课前预习学案情境引入 提示：因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函 数模型刻画它的运动规律， 知识梳理[思考] 1.提示：当a0时，将函数f(x)的图象向左平移a个单位；当a<0 时，向右平移一a个单位. 2.提示：只需把y=sin(z十p)向右(gp>0)或向左(gp<0)平移p个单 位长度即可得到y=sinx的图象. 提示：y=sina十g=血u(e+号） ∴.由y=sin a的图象向左（右）平移2个单位长度. 4提示：令相位分别等于正弦函数五点法作图中的五点(0,0)， (受，0（受，-(2,0）的横坐标，求出x值作为横坐 标，纵坐标不变，五点法作图」 预习自测 1.B2.C3.B 课堂互动学案 [例】[解](Dy=si(2z+) =血(2r+冬+2如）=m[2++] 所以周期为元 (3)作图如下】 观察图象可知周期为受， 变式训练 1.解析：(1DT=2红=4 π 2 (2)T= 2 2纸=3m,w三名w=±子 w 答案：(1)4 [例习[解]令X=2x+至，剥一(X-吾) 列表： X 0 3π 2 2x 3π 5π 7π x 8 8 8 0 2.5 0 -2.5 0 描点连线，如图所示 1 y=sin(2x+) 智 5 7π 20 参考答案 变式训练 2.解：第一步：列表 3x r 8 晋 2x- 0 3元 2n 如(2a-) 0 -1 0 第二步描，点 第三步：连线画出图象如图所示： 7π 9 -1-- [例3][解]第一步：把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短 到原来的号倍，得y=si2z的因象； 第二步：将所得圈象沿x轴向左平移个单位， 得y-sm2(+否）即y=血(2z+平)的图象 变式训练 3.C[因为y一血(2a+号）-n2(+晋）所以将画数 )一sim2的图象向左平移否个单位长度，就可得到画数 ysim2(+石）)-sin(2a+号)的图象.] [例4幻[解](1)由题意得2T=5x,所以T-10x, 因为点（π，1）在此函数图象上， 则sn(5+9)=1, 又因为0<受，有g受一晋-语： ππ3π 所以y=in(5x+10} 13π\ (2)当- 1 2 即-4π十10k≤x≤π十10k元，k∈Z时， 函数y一n(行一)单润递增，所以北高：的单调递增区间 为[-4r+10kr,x+10k元](k∈Z). 变式训练 4解，1)最小正周期T-受=元 由2受<2-<2+受D,得晋<x<m+ ED.所以高载)的单羽蓬蜡区间是[k红吾k红] ∈Z). 所以当1要脚学时=号所以当受即一晋 时，ys=1 随堂步步夯实 1.C 2.B[原画数图象向左年移子个单位后得y=sm(十否+晋） s如(+登)a∈R)的图象，再起图象上各点的横坐标扩大到原 未的2倍得y=n(合)∈R)的图象.] ·2 五维课堂兰 3D[由f)=sm(受十2z）的图象向左平移号个单位得到的 是g)=[受+2(+吾)门-n(+吾)的国象。 4.解析：依题意知将y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 行后可得y=血6c的因泉. 答案：y=sin6x 5解析：将函数y一s血x的圈象上所有点向左平移号个单位可得画 数y=s如（十号），再起所得图象上各点横坐标扩大到原未的2 倍，即可变为y如（侵十晋） 1 6.3探究A对y=Asin(an十p)的图象的影响 课前预习学案情境引入 L.提示：因为y=Asin(ax十gp)是奇函数，所以f(0)=0,因此sinp= 0,所以0=k元，k∈Z 2.提示：因为y=Asin(a十p)为偶函数，所以f(0)=A或f(0)= 一A,即Asin=A或Asin9=-A,所以有9=kx计受，k∈乙 知识梳理知识点一 A2年&T=倍片会 知识点二 [思考] 提示：对于y=Asin(awz十gp)的单调性而言，A与w的正负影响单 调性，如果w<0,可以利用诱导公式sin(一a)=一sina将负号转 化到函数符号外，再求相应单调区间. 预习自测 1.A2.A 3-经+号em 课堂互动学案 [例1门[解]列表如下所示： 受+晋 0 2 2 2π 5π 8π 11π 3 3 y 0 2 0 2 0 描点作图如图所示： 41 /0T2π5m 11m [一誓号]小上的因泉向左，向右扩展，即可得它的简西 由函数的图象可知函数的定义域为R,值域为[一2,2]，周期为T 子-初相=晋，最大值为2，最小值为-2 _2=4π，f=个=4元 令2km-受≤号+天≤2x十牙(kE7),得原画数的增区间为 22T6 令2x十受≤受十晋<m+受k∈Z,得原画数的减区间为 [x+，h+等]ue 得原西数的对称轴x=2a+受（∈》