第1章 §7 第2课时 正切函数的图象与性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦正切函数的图象与性质核心知识点，通过类比正弦、余弦函数的研究经验，系统梳理正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，构建三角函数知识体系，为后续正切型函数学习提供基础支架。 该资料以问题链引导探究，如“能否类比正弦函数研究正切函数”培养抽象能力与创新意识，例题中整体代换求单调区间发展推理能力，即时练与分层习题助力巩固应用，课中提升教学效率，课后便于学生查漏补缺。

第2课时　正切函数的图象与性质 新课导入 学习目标 　　同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 1.能画出y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z的图象． 2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间上的单调性． 3．能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 一　函数y＝tan x的图象与性质 思考1　正切函数y＝tan x的定义域是什么？ 提示：{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}． 思考2　回忆正切函数的诱导公式，你能说明正切函数有什么性质？ 提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数． [知识梳理] 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心(，0)(k∈Z) [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　) (4)存在某个区间，使正切函数单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝－2tan (2x＋)的定义域是________． 解析：由正切函数的定义域可得，2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，故函数f(x)的定义域为． 答案： 3．函数y＝tan (x－)的零点是________，图象的对称中心是________． 解析：令y＝tan (x－)＝0，得x－＝kπ，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z， 所以y＝tan (x－)的零点是kπ＋，k∈Z. 令x－＝，k∈Z，即x＝＋，k∈Z， 所以y＝tan (x－)图象的对称中心是(＋，0)，k∈Z. 答案：kπ＋，k∈Z　(＋，0)，k∈Z 对正切函数的图象与性质的理解 (1)正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线称为正切曲线的渐近线，与正切曲线无限接近但不相交． (2)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增，不能说正切函数在其定义域上单调递增． (3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． 二　正切函数的奇偶性和周期性 [例1] (1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π (2)已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝________． 【解析】　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为.故选B. (2)由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1， 所以am3－bm－tan m＝－1， 所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝，常常利用此公式来求最小正周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 解析：选A.由2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域是{x∈R＋，k∈Z}，关于原点对称． f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项． f(x＋)＝|tan (2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为，A选项正确． f(x＋)＝ ＝＝ ＝≠f(x)， 所以不是f(x)的周期，C选项错误．故选A. (2)若函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝所截得的线段长为，则f()的值是________． 解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为，所以ω＝＝8. 所以f()＝tan ＝tan ＝. 答案： 三　正切函数的单调性及应用 角度1　求正切型函数的单调区间 [例2] 函数y＝3tan (－)的单调递减区间为________． 【解析】　函数y＝3tan (－)＝－3tan (－)， 由正切函数的性质知kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，解得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)， 所以函数的单调递减区间为 (4kπ－，4kπ＋)(k∈Z). 【答案】　(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z) 求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间． 角度2　比较大小 [例3] 不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起来． (1)tan 32°________tan 215°. (2)tan________tan . 【解析】　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，而0°＜32°＜35°＜90°，因此tan 32°＜tan 35°，所以tan 32°＜tan 215°. (2)tan ＝tan (4π－)＝tan ， tan (－)＝tan (－3π－)＝tan (－)， 而－＜－＜－＜0， 函数y＝tan x在(－，0)上单调递增， 则tan (－)＜tan (－)， 所以tan ＜tan (－). 【答案】　(1)<　(2)< 运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数单调性比较大小关系． 角度3　值域与最值 [例4] (1)函数y＝tan (x－)，x∈(－，)的值域为(　　) A．(－，1) B．(－1，) C．(1，) D．(，1) (2)函数y＝－tan2x＋4tanx－1，x∈[－，]的值域为________． 【解析】　(1)设z＝x－，因为x∈(－，)，所以z∈(－，). 因为正切函数y＝tan z在(－，)上单调递增，且tan (－)＝－，tan ＝1， 所以tan z∈(－，1).故选A. (2)令t＝tan x，y＝－t2＋4t－1， 因为函数t＝tan x在[－，]上单调递增，当x∈[－，]时，－1≤tan x≤1，即－1≤t≤1， 又因为函数y＝－t2＋4t－1在[－1，1]上单调递增，当t∈[－1，1]时，y＝－t2＋4t－1∈[－6，2]，所以函数y＝－tan2x＋4tanx－1，x∈[－，]的值域为[－6，2]. 【答案】　(1)A　(2)[－6，2] 求正切函数值域的方法 (1)对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tan x相关的一元函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． [跟踪训练2] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＞b＞c D．a＜c＜b 解析：选A.由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x＞0，在(，π)上单调递增且tan x＜0，因为0＜1＜＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0，tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A. (2)函数f(x)＝tan (3x－)在[0，)上的值域为________． 解析：由x∈[0，)，可得3x－∈[－，)，根据正切函数的性质，可得tan (3x－)∈[－，＋∞)，即函数f(x)＝tan (3x－)在[0，)上的值域为. 答案： (3)若函数y＝tan 3x在区间(m，)上单调递增，则实数m的取值范围为________． 解析：令kπ－＜3x＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z， 令k＝0，则其一个单调递增区间为(－，)，则实数m的取值范围为[－，). 答案：[－，) 1．函数y＝的定义域为(　　) A．[kπ－，kπ]，k∈Z B．[kπ，kπ＋]，k∈Z C．(kπ－，kπ＋]，k∈Z D．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z 解析：选C.由题意可得1－tan x≥0，且x≠＋kπ，k∈Z，即tan x≤1， 所以x∈(kπ－，kπ＋]，k∈Z.故选C. 2．(多选)已知函数f(x)＝tan (x＋)，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为 C．f(x)是奇函数 D．f() ＜f() 解析：选BD.对A，由f(x)＝tan (x＋)，得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A错误； 对B，由x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B正确； 对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 对D，由B知f(x)在(，)上单调递增，又因为<<<，所以f()＜f()，故D正确．故选BD. 3．(教材P65T4改编)函数f(x)＝tan (x＋)的单调递增区间为________________． 解析：对于函数f(x)＝tan (x＋)，由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)， 可得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－，2k＋)(k∈Z). 答案：(2k－，2k＋)(k∈Z) 4．已知函数f(x)＝a－tan 2x在闭区间[－，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值． 解：取－＜2x＜，解得－＜x＜，所以y＝tan 2x在(－，)上单调递增， 即f(x)＝a－tan 2x在(－，)上单调递减，因为f(x)在闭区间[－，b]上有最大值为7，最小值为3，所以－＜b＜，且f(b)＝3，f(－)＝7，即 解得 因为－＜b＜，所以b＝， 故a＝4，b＝. 1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质． 2．须贯通：研究函数y＝A tan (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题． 3．应注意：(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，而不是T＝；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，其图象的对称中心为(，0)(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $