第1章 8 三角函数的简单应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§8　三角函数的简单应用 课标要求 1.会用三角函数解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型（数学建模、数学运算）. 如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流（电刷及回路等部分省略），当线圈处于如图所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值－A；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时，线圈中的感应电流y又一次为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化. 【问题】　（1）交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画？ （2）以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义 1.简谐运动y＝4sin的相位与初相是（　　） A.5x－，　　　　　B.5x－，4 C.5x－，－ D.4， 解析：C　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－. 2.如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动往返一次所需时间为（　　） A.0.4 s B.0.6 s C.0.8 s D.1.2 s 解析：C　由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次. 3.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为（　　） A.2π s　　　B.π s C.0.5 s　　　D.1 s 解析：D　依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D. 题型一｜已知三角函数解析式解决实际问题 【例1】　心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p（t）＝115＋25sin 160πt，其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），试回答下列问题： （1）求函数p（t）的周期； 解：因为ω＝160π，所以T＝＝（min），所以函数p（t）的周期为 min. （2）求此人每分钟心跳的次数； 解：此人每分钟心跳的次数为函数的频率f＝＝80（次）. （3）画出函数p（t）的草图； 解：列表： t 0 p（t） 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右平移得到函数p（t）的简图如图所示： （4）求出此人的血压在血压计上的读数. 解：由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. 通性通法 　　解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y＝Asin（ωx＋φ）的性质相结合，转化为数学问题再解决. 【跟踪训练】 交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E＝220·sin来表示，求： （1）开始时电压； 解：当t＝0时，E＝110（V）. 即开始时的电压为110 V. （2）电压值重复出现一次的时间间隔； 解：T＝＝（s），即时间间隔为0.02 s. （3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解：电压的最大值为220 V. 当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值. 题型二｜已知函数模型确定函数解析式 【例2】　如图，风车叶轮的最高点离地面14.5 m，叶轮旋转所成圆的直径为14 m，叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动.以叶轮顶点离地面的高度y（单位：m）与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t（单位：s）建立一个数学模型，用函数y＝asin[ω·（t－b）]＋c来表示，求参数a，b，c，ω的值，并写出函数解析式. 解：因为叶轮每分旋转2周，所以f＝＝. 又因为f＝，T＝， 所以ω＝2πf＝2π×＝. 因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m， 所以叶轮顶点应该在离圆心7 m范围内变化，即函数振幅a＝7. 因为叶轮顶点从离地面最低点，经过＝15 s后到达最高点，可得ω（15－b）＝， 即b＝15－＝. 圆心离地面的高度为7.5 m， 所以c＝. 综上可得函数解析式为y＝7sin［（t－）］＋. 通性通法 三角函数解析式的求法 　　求y＝Asin（ωx＋φ）＋b的解析式时，一定要清楚影响A，ω，φ，b的因素，A＝，b＝，ω与周期有关，φ可用特殊点来求，当已知A，b时，也可以根据相位对应法列出方程组求ω，φ的值. 【跟踪训练】 　某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，0＜｜φ｜＜π）近似描述，求该函数解析式； 解：因为函数为y＝f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，0＜｜φ｜＜π）， 由①，得周期T＝＝12，所以ω＝. 由②，得f（2）最小，f（8）最大，且f（8）－f（2）＝400，故A＝200. 由③，得f（x）在[2，8]上递增，且f（2）＝100，所以f（8）＝500， 所以解得 因为f（2）最小，f（8）最大， 所以 由于0＜｜φ｜＜π，因此φ＝－， 所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为 y＝f（x）＝200sin＋300（x∈N*，且1≤x≤12）. （2）哪几个月份要准备不少于400人的用餐？ 解：由条件可知200sin＋300≥400， 化简得sin≥， 所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋（k∈Z）. 解得12k＋6≤x≤12k＋10（k∈Z）. 因为x∈N＋，且1≤x≤12， 所以x＝6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的用餐. 题型三｜三角函数模型的拟合 【例3】　下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴. （1）用正弦曲线去拟合这些数据； 解：如图. （2）估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； 解：最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故＝7－1＝6，所以T＝12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即2A＝73.0－21.4＝51.6， 所以A＝25.8. （3）下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①＝cos；②＝cos；③＝cos. 解：因为模型①的周期为12π，所以由（2）知①错误；由模型②知当x＝0时，y取最大值，而x＝月份－1，即1月份的气温最高，这与（2）中的结论矛盾，所以应选③. 通性通法 　　根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题. 【跟踪训练】 　某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：时）呈周期性变化，每天各时刻t的海浪高度的平均值如下表： t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 （1）作出这些数据的散点图； 解：散点图如图所示. （2）从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b和y＝Atan（ωt＋φ）中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式； 解：由（1）知选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b较合适. 令A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π. 由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12， 所以ω＝＝. 把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0. 故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1（0≤t≤24）. （3）如果确定在一天内的7时到19时之间，当海浪高度不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 解：由y＝0.4sint＋1≥0.8， 得sint≥－. 则－＋2kπ≤t≤＋2kπ（k∈Z）， 即12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z）， 注意到t∈[0，24]， 所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当. 1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x＋φ）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　） A.5 B.6 C.8 D.10 解析：C　由图象知ymin＝2.因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8. 2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin （t≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（　　） A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] 解析：C　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F（t）的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 3.电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流强度为2.5A. 解析：将t＝代入I＝5sin，得I＝2.5，故电流强度为2.5 A. 4.一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为y＝－4cos t. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 解析：设y＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t. 5.某地一年中12个月的平均气温y（单位：℃）与月份x（单位：月）的关系可近似地用函数y＝a＋Acos［（x－6）］（x＝1，2，3，…，12）来表示.已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为20.5℃. 解析：当x＝6时，ymax＝a＋A＝28，当x＝12时，ymin＝a－A＝18，解得a＝23，A＝5，所以得函数y＝23＋5cos［（x－6）］，所以当x＝10时，y＝23＋5cos［（10－6）］＝20.5. 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周期后，乙的位置将移至（　　） A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定 解析：C　相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点. 2.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 解析：D　因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝ cm. 3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由s1＝5sin（2t＋），s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是（　　） A.s1＞s2 B.s1＜s2 C.s1＝s2 D.不能确定 解析：C　当t＝时，s1＝5sin（＋）＝5sin＝－5，s2＝10 cos＝10×（－）＝－5，故s1＝s2. 4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]时，A，B两点间的距离为d（单位：cm），则d＝（　　） A.5sin B.10sin C.5sin D.10sin 解析：D　由题知，t s转过的圆心角为，过点O作AB的垂线，则AB＝2×5×sin＝10sin.故选D. 5.〔多选〕如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（0＜φ＜π），则下列说法正确的是（　　） A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C.该函数的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14） D.这一天的函数关系式也适用于第二天 解析：AB　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵ ＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10sin＋20，∴sin＝1，∴φ可以取，∴y＝10sin（x＋）＋20（0≤x＜24），B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错.故选A、B. 6.如图，某动物种群数量1月1日（t＝0时）低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照曲线y＝Asin（ωt＋φ）＋b变化，则A，b的值分别为100，800. 解析：由题图，得 解得 7.某市房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（0＜ω＜π，｜φ｜＜π）.已知第一、二季度的平均单价如表所示， x 1 2 y 10 000 9 500 则此楼群在第三季度的平均单价大约是9 000元. 解析：将表格中的数据分别代入y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（0＜ω＜π，｜φ｜＜π），可得ω＝，φ＝0，所以y＝500sin x＋9 500，将x＝3代入可得y＝9 000. 8.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系f（t）＝10－2sin.要求实验室温度不高于11 ℃，则实验室需要降温的时间段是10时到18时. 解析：依题意，当f（t）＞11时，实验室需要降温. 所以10－2sin＞11， 即sin＜－.又0≤t＜24， 所以＜t＋＜，即10＜t＜18. 9.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的图象.2024年3月下旬北京地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃. （1）求出北京地区该时段的温度函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，x∈[0，24））的表达式； （2）3月29日上午9时某高中将举行模拟考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 解：（1）由题意知 解得易知＝14－2， 所以T＝24，所以ω＝， 则y＝8sin＋6. 易知8sin＋6＝－2， 即sin＝－1， 故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜π，得φ＝－， 所以y＝8sin＋6（x∈[0，24））. （2）当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin ＋6＜8sin ＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调. 10.如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时，则物体相对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s，t≥0）之间的函数关系式为（　　） A.x＝sin（t－） B.x＝3sin C.x＝sin（3t＋） D.x＝3sin（t＋） 解析：D　设位移x关于时间t的函数关系式为x＝f（t）＝Asin（ωt＋φ）（ω＞0），根据题中条件，可得A＝3，周期T＝＝3，故ω＝＝，由题意可知当t＝0时，f（t）取得最大值3，故3sin φ＝3，则φ＝＋2kπ（k∈Z），所以x＝3sin（t＋＋2kπ）＝3sin（t＋）. 11.某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为y＝0.2sin t＋3.8（t＞0）（答案不唯一）. 解析：假设三角函数模型为y＝Asin ωt＋b， 由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10， ∴ω＝＝， ∴y＝0.2sin t＋3.8（t＞0）. 12.设偶函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，｜KL｜＝1，则f＝. 解析：取KL的中点N并连接MN（图略）， 则MN＝，即A＝， 由题意知T＝2，∴ω＝π. ∵函数为偶函数，0＜φ＜π， ∴φ＝，∴f（x）＝cos πx， ∴f＝cos ＝. 13.如图，弹簧上挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式h＝Asin（ωx＋）确定，其中A＞0，ω＞0，t≥0.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. （1）求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系； （2）小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围. 解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，所以周期为2，即T＝2＝，所以ω＝π，所以h＝5sin（πx＋），t≥0. （2）由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，以后每隔一 个周期都出现一次最高点，因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，所以49T＋≤t0＜50T＋. 因为T＝2，所以98≤t＜100， 所以t0的取值范围为［98，100）. 14.〔多选〕如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中，下列说法正确的是（　　） A.经过10 min点P距离地面10 m B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的 C.第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同 D.摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min 解析：ACD　建立如图所示的平面直角坐标系，设φ（0≤φ＜2π）是以x轴的非负半轴为始边，OP0（P0表示点P的起始位置）为终边的角，由点P的起始位置在最高点知，φ＝，又由题知OP在t min内转过的角为t，即，所以以x轴的非负半轴为始边，OP为终边的角为＋，即点P的纵坐标为40sin，所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h（t）＝50＋40sin＝50＋40cos.当t＝10时，h＝50＋40cos π＝10，A正确；当转速减半时，周期是原来的2倍，B错误；h（17）＝50＋40cos＝50＋40cos，h（43）＝50＋40cos＝50＋40cos，C正确；由h（t）＝50＋40cos≥70得cos≥，解得2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，即20k－≤t≤20k＋，k∈Z，因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min，D正确.故选A、C、D. 15.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y＝k（k＞0）的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，x∈[4，8]）的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F. （1）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 解：（1）由图象，可知A＝，ω＝＝＝，将B代入y＝sin中， 得＋φ＝2kπ＋（k∈Z）， 即φ＝2kπ－（k∈Z）. 因为｜φ｜＜，所以φ＝－， 故y＝sin，x∈[4，8]. （2）在y＝sin中， 令x＝4，得D（4，4）， 从而得曲线OD的方程为y＝2（0≤x＜4）， 则P， 所以矩形PMFE的面积为 S＝×＝， 即儿童乐园的面积为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $