第1章 §7 第1课时 正切函数的定义及其诱导公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦正切函数的定义及其诱导公式这一核心知识点，通过衔接初中锐角正切及高中正弦余弦函数的已有知识，构建从旧知到新知的学习支架，系统阐述正切函数的定义域、坐标表示及诱导公式推导。 资料以“思考问题”引导学生探究定义域，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，结合例题解析与跟踪训练强化推理运算，体现数学思维的严谨性，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过习题巩固查漏补缺，提升知识应用能力。

§7　正切函数 第1课时　正切函数的定义及其诱导公式 新课导入 学习目标 　　初中阶段我们学习过锐角的正弦、余弦和正切值，前面的课程中我们又学习了正弦函数和余弦函数的定义及其诱导公式，这节课我们来学习正切函数的定义及其诱导公式． 1.理解任意角的正切函数的定义． 2．会根据任意角终边上一点的坐标求正切函数值． 3．掌握正切函数的诱导公式的推导及应用． 一　正切函数的定义 思考　对任意角α∈R，使有意义的α的取值范围是什么？在这个范围内，当α一定时，是否唯一确定？ 提示：由cos α＝0得α＝kπ＋(k∈Z)，故使有意义的α的取值范围是{α∈R}． 当α∈{α∈R}时，α一定，则唯一确定． [知识梳理] 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为． 2．用坐标表示角α的正切值 若角α的终边上任取一点Q(x0，y0)(x0≠0)，则tan α＝． [例1] (1)(对接教材例1)tan ＝(　　) A．－ B．－1 C． D．1 (2)(对接教材例2)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． 【解】　(1)选D.因为sin ＝sin (π＋)＝－sin ＝－，cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－. 由正切函数的定义得，tan ＝＝＝1，故选D. (2)r＝＝5|a|， 若a＞0，则r＝5a，角α的终边在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－； 若a＜0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 求正切函数值的两种方法 (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解． (2)已知角α终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝. [跟踪训练1] (1)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________． 解析：由正切函数的定义得，＝，解得m＝－. 答案：－ (2)若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 解：因为tan α＝＞0，所以角α是第一或第三象限角． ①若角α是第一象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(2，1)，若O为坐标原点，所以r＝|OP|＝＝. 所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，若O为坐标原点，所以r＝|OP|＝＝. 所以sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－. 二　正切函数的诱导公式 [知识梳理] tan (x＋kπ)＝tan__x(k∈Z)； tan (－x)＝－tan__x； tan (x＋π)＝tan__x； tan (π－x)＝－tan__x； tan ＝－； tan ＝. [例2] (对接教材例3)求值： (1)tan ； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°). 【解】　(1)tan (－)＝－tan ＝－tan (8π＋)＝－tan ＝tan ＝. (2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0. 利用正切函数的诱导公式求值的方法 (1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值，即“已知实数x求值”，关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值，通常是特殊角的正切函数值． (2)“给值求值”时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值． [跟踪训练2] 计算下列三角函数的值： (1)tan 150°＝__________； 解析：tan 150°＝tan (180°－30°)＝－tan 30°＝－. 答案：－ (2)tan ＝__________． 解析：tan (－)＝－tan ＝－tan (3π＋)＝－tan ＝－. 答案：－ 三　利用诱导公式化简与求值 [例3] (1)化简：＝__________； (2)在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点P，若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角 β，求的值． 【解】　(1)原式＝ ＝ ＝＝2＋.故填2＋. (2)由三角函数的定义可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－ .由题意知β＝α＋，则sin β＝sin (α＋)＝cos α＝－，cos β＝cos (α＋)＝－sin α＝－，则＝＝＝－4. 利用诱导公式化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时一定要注意函数的符号有没有改变． (3)对同时含有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子进行化简时，一般采用切化弦，有时也将弦化切． [跟踪训练3] 化简下列各式： (1)＝________； 解析： ＝ ＝＝＝. 答案： (2) ··＝________． 解析： ··＝··＝··＝··＝－sin αcos α. 答案：－sin αcos α 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(教材P65习题1－7A组T2改编)已知角α的终边在直线y＝2x上，则tan α的值为(　　) A．2 B．±2 C． D．± 解析：选A.在角α的终边上任取一点(k，2k)(k≠0)，则tan α＝＝2.故选A. 2．(教材P64T1改编)tan 300°＋sin 450°的值为(　　) A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 解析：选B.tan 300°＋sin 450°＝tan (360°－60°)＋sin (360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.故选B. 3．计算7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°＝__________． 解析：原式＝7cos (180°＋90°)＋3sin (180°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2. 答案：－2 4．若tan (5π＋α)＝m(m≠±1)，则 ＝________． 解析：由tan (5π＋α)＝m(m≠±1)，得tan α＝m(m≠±1)，所以＝＝＝. 答案： 1．已学习：正切函数的定义、正切函数的诱导公式． 2．须贯通：利用正切函数的诱导公式化简求值． 3．应注意：(1)在tan ＝－和tan ＝中注意符号的选取； (2)正切函数中注意α≠＋kπ(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $