1.8 三角函数的简单应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§8　三角函数的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决简单的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养.　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型，提升数学建模的核心素养. 任务一　三角函数模型在生活中的应用 我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力.如图是水车示意图，其半径为6 m，中心O距水面3 m，一水斗从水面处的点P0处出发，逆时针匀速旋转，80 s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h. (1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？ 解：(1)依题意，当t＝0时，以x轴非负半轴为始边，OP0为终边的角是－， 因为80 s转动一周，所以水斗转动的角速度为ω＝＝. 因此，水斗转动t s到点P时的角为ωt＝t，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是t－， 于是得点P的纵坐标为6sin， 则h＝6sin＋3， 所以所求函数关系为h＝6sin＋3(t≥0). (2)由(1)令h＝6sin＋3＝0，即sin＝－， 当再次到达水面时，0＜t＜80，t－∈， 所以t－＝，解得t＝ s， 即此水斗经过 s后再次到达水面， 在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是80－＝(s). 学生用书⬇第46页 解决三角函数的实际应用问题的一般步骤 第1步：审题，理清问题中的已知条件与所求结论； 第2步：建立三角函数模型，将实际问题数学化； 第3步：利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； 第4步：根据实际问题的意义，得出实际问题的解； 第5步：将所得结论返回，转译成实际问题的答案. 对点练1.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象. 解：(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，如图所示. 又初相为φ，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为y＝rsin，t≥0， 因此P的运动周期T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，如图所示. 任务二　三角函数模型在物理中的应用 已知电流i(单位：A)关于时间t(单位：s)的函数解析式为i＝5sin，t∈[0，＋∞). (1)当t＝2时，求电流i； (2)当t＝m时，电流i取得最大值，写出m的一个值. 解：(1)函数i＝5sin，t∈[0，＋∞)， 当t＝2时，i＝5sin＝5sin ＝A. (2)当t＝m时，电流i取得最大值，则100πm＋＝＋2kπ，k∈N，解得m＝＋，k∈N， 所以m的一个值为. 　　由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数模型，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键. 对点练2.(1)(多选题)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(图中h＝0处)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin确定，其中A＞0，ω＞0，t≥0，φ∈.小球从最高点出发，经过0.5 s后，第一次到达最低点，经过的路程为10 cm，则下列说法正确的是(　　) A.ω＝2π B.φ＝ C.小球在t∈内经过的路程为10 cm D.t＝9.75时，小球正在向上运动 (2)在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上、下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是　　　　. 答案：(1)ABD　(2)s1＝s2 解析：(1)依题意，＝0.5，所以T＝1，所以ω＝＝2π，当t＝0时，小球位于最高点，则sin φ＝1，φ∈，所以φ＝，故A、B正确；对于C，由题意A＝5，当t∈，小球经过一个周期，则其路程为4A＝20，故C错误；对于D，当t＝9.75时，由周期性，等价于t＝0.75，此时h＝5sin＝sin 2π＝0，由正弦函数的图象可知，图象自下而上穿过x轴，小球正在向上运动，故D正确.故选ABD. (2)当t＝时，s1＝5sin＝5sin ＝－5，s2＝5cos＝5cos π＝－5，所以s1＝s2. 学生用书⬇第47页 任务三　三角函数模型的拟合 某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)；②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asin ωt＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？ 解：(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 结合散点图以及题中所给的三个函数模型可得，应选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，所以A＝＝0.9，b＝＝1.5， 因为T＝＝12，所以ω＝，所以y＝0.9cos＋1.5， 又因为函数y＝0.9cos＋1.5的图象过点(3，2.4)，所以2.4＝0.9cos＋1.5， 所以cos＝1，所以sin φ＝－1，又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－， 所以y＝0.9cos＋1.5＝0.9sin t＋1.5. (2)由(1)知y＝0.9sin t＋1.5，令y≥1.05，即0.9sin t＋1.5≥1.05， 所以sin t≥－，所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，所以12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又因为5≤t≤18，则5≤t≤7或11≤t≤18， 所以这一天可以安排5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第1步：根据原始数据，绘出散点图； 第2步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； 第3步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第4步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 对点练3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　　　　　. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 答案：y＝－4cos t，t≥0 解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t，t≥0. 任务再现 1.三角函数模型在生活中的应用.2.三角函数模型在物理中的应用.3.三角函数模型的拟合 方法提炼 数学建模、数形结合 易错警示 注意函数的定义域，尤其是实际意义；注意作结论时应回到实际问题中 1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. B.100 C. D.50 答案：C 解析：T＝＝＝.故选C. 2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同(　　) A.甲 B.戊 C.丙 D.丁 答案：D 解析：因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期，而乙在最低点，所以经过周期后，乙点与丁点相同.故选D. 3.(多选题)如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈.记水轮上的点P到水面的距离为d米(P在水面下则d为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d＝Asin＋k(A＞0，ω＞0)，－＜φ＜，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则(　　) A.k＝5 B.A＝10 C.ω＝ D.k＝10 答案：ABC 解析：由图可知d的最大值为15，最小值为－5，所以解得A＝10，k＝5，故A、B正确，D错误；因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15，所以＝15，得ω＝，故C正确.故选ABC. 4.某地一天0～24时的气温y(单位：℃)与时间t(单位：h)的关系满足函数y＝6sin＋20，则这一天的最低气温是　　　　℃. 答案：14 解析：因为t∈，所以t－∈，当t－＝－，即t＝2时， ymin＝6sin＋20＝－6＋20＝14. 学科网（北京）股份有限公司 $