1.7.1 正切函数的定义&1.7.2 正切函数的诱导公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦正切函数的定义与诱导公式核心知识点，通过回顾初中锐角三角函数定义引入，逐步扩展到任意角正切函数定义（结合终边上点坐标及定义域），再推导诱导公式，辅以例题与跟踪训练，构建从基础到应用的学习支架。 该资料以问题链引导学生用数学眼光抽象概念，通过诱导公式推导培养数学思维（推理与运算能力），以符号表达和坐标应用强化数学语言。实例丰富，含教材例题、跟踪训练及改编题，课中助力教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

§7　正切函数 7．1　正切函数的定义 7．2　正切函数的诱导公式 1.理解任意角的正切函数的定义．　2.会根据任意角终边上一点的坐标求正切函数值．　3.掌握正切函数的诱导公式的推导及应用． 思考1　初中我们所学的正弦、余弦及正切函数是如何定义的？它们之间有何关系？ 提示：如图，在Rt△ABC中，C＝90°，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则对于锐角A有sin A＝，cos A＝，tan A＝；tan A＝. 思考2　对于任意实数x，结合思考1，正切函数如何定义呢？ 提示：任意实数x，比值唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，是x的函数，称为x的正切函数． 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值____________是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为________________________． 2．用坐标表示角α的正切值 若角α的终边上任取一点Q(x0，y0)(x0≠0)，则tan α＝____________． [答案自填] 　　 　(1)(对接教材例1)tan ＝(　　) A．－ B．－1 C． D．1 (2)(对接教材例2)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． 【解】　(1)选D.因为sin ＝sin (π＋)＝－sin ＝－，cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－. 由正切函数的定义得，tan ＝＝＝1，故选D. (2)r＝＝5|a|， 若a＞0，则r＝5a，角α的终边在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－； 若a＜0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 求正切函数值的两种方法 (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解． (2)已知角α终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝. [跟踪训练1] (1)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________． 解析：由正切函数的定义得，＝，解得m＝－. 答案：－ (2)若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 解：因为tan α＝＞0，所以角α是第一或第三象限角． ①若角α是第一象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(2，1)，若O为坐标原点， 所以r＝|OP|＝＝. 所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，若O为坐标原点， 所以r＝|OP|＝＝. 所以sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－. tan (x＋kπ)＝________(k∈Z)； tan (－x)＝________； tan (x＋π)＝________； tan (π－x)＝________； tan ＝－； tan ＝. [答案自填] tan x　－tan x　tan x －tan x 　(对接教材例3)求值： (1)tan ； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°). 【解】　(1)tan (－)＝－tan ＝－tan (8π＋)＝－tan ＝tan ＝. (2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0. 利用正切函数的诱导公式求值的方法 (1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值，即“已知实数x求值”，关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值，通常是特殊角的正切函数值． (2)“给值求值”时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值． [跟踪训练2] 求下列三角函数的值： (1)tan 150°； 解：tan 150°＝tan (180°－30°)＝－tan 30°＝－. (2)tan . 解：tan (－)＝－tan ＝－tan (3π＋)＝－tan ＝－. 　(1)化简：＝__________； (2)在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点P，若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角 β，求的值． 【解】　(1)原式＝ ＝ ＝＝2＋.故填2＋. (2)由三角函数的定义可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－ .由题意知β＝α＋，则sin β＝sin (α＋)＝cos α＝－，cos β＝cos (α＋)＝－sin α＝－，则＝＝＝－4. 利用诱导公式化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时一定要注意函数的符号有没有改变． (3)对同时含有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子进行化简时，一般采用切化弦，有时也将弦化切． [跟踪训练3] 化简下列各式： (1)＝________； 解析： ＝ ＝＝＝. 答案： (2) ··＝________． 解析： ··＝··＝··＝··＝－sin αcos α. 答案：－sin αcos α 1．(教材P65习题1－7A组T2改编)已知角α的终边在直线y＝2x上，则tan α的值为(　　) A．2 B．±2 C． D．± 解析：选A.在角α的终边上任取一点(k，2k)(k≠0)，则tan α＝＝2.故选A. 2．(教材P64T1改编)tan 300°＋sin 450°的值为(　　) A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 解析：选B.tan 300°＋sin 450°＝tan (360°－60°)＋sin (360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.故选B. 3．计算7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°＝__________． 解析：原式＝7cos (180°＋90°)＋3sin (180°＋90°)＋tan (2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2. 答案：－2 4．f(α)＝＝________． 解析：f(α)＝ ＝＝－cos α. 答案：－cos α 1．已学习：正切函数的定义、正切函数的诱导公式． 2．须贯通：利用正切函数的诱导公式化简求值． 3．应注意：(1)在tan ＝－和tan ＝中注意符号的选取； (2)正切函数中注意α≠＋kπ(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $