第1章 §6 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质，以“五点法”作图步骤为基础，系统梳理定义域、值域、周期性等性质，进而学习由图象确定A、ω、φ的方法，最终实现性质与图象的综合应用，构建完整知识支架。 该资料以简谐振动实例引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过“五点法”作图和整体代换培养数学思维，例题与跟踪训练结合具体问题，助力学生用数学语言解决实际问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 一　“五点(画图)法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示． 思考　你能根据图象，求出A，ω，φ吗？ 提示：通常根据函数的振幅、周期和零点(特殊点)分别确定A，ω，φ的值．由题图可知，A＝0.5，T＝＝2，即ω＝π，则y＝0.5 sin (πx＋φ)，又图象经过点(2，0.5)，故0.5sin (2π＋φ)＝0.5，且0<φ<π，则φ＝. [知识梳理] 用“五点(画图)法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，得到图象． [例1] 利用“五点(画图)法”作出函数y＝3sin 在一个周期内的图象． 【解】　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表： － 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描点，连线，如图所示． (1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象． [跟踪训练1] (2025·汉中月考)设函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f()＝. (1)求ω和φ的值； (2)填下表并在给定平面直角坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． ωx＋φ x f(x) 解：(1)由题意知，T＝＝π，解得ω＝2，又f()＝cos (2×＋φ)＝cos ＝－sin φ＝， 又－<φ<0，所以φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝cos (2x－)，列表得 2x－ － 0 π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 描点连线，作图如图． 二　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 [知识梳理] 性质 y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 [例2] 已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求该函数图象的对称轴方程； (2)求该函数图象的对称中心； (3)求该函数的单调递增区间． 【解】　由T＝＝π，解得ω＝2， 则f(x)＝sin ， (1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，即该函数图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. (2)令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z.所以该函数图象的对称中心为(－，0)(k∈Z). (3)令μ＝2x＋，由2kπ－≤μ≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (1)关于函数y＝sin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 将ωx＋φ看作一个整体，代入到y＝sin x图象的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称中心、对称轴或φ值． (2)求解函数y＝sin(ωx＋φ)的单调区间的步骤 ①将ω化为正值． ②将ωx＋φ看作一个整体，代入到y＝sin x的单调区间中解出x的范围即为函数的单调区间． ③如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值即可． [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝sin . (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin (2x＋)，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)因为x∈，所以2x＋∈，根据正弦函数y＝sin x的性质可知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.综上，函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－. 三　由图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例3] 如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 【解】　方法一(逐一定参法) ： 由题图知振幅A＝3，又T＝－＝π，所以ω＝＝2. 由图象过点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以y＝3sin . 方法二(待定系数法)： 由题图知A＝3，又图象过点和，根据“五点(画图)法”原理(以上两点可判定为“五点(画图)法”中的第三点和第五点)， 有 解得 所以y＝3sin . 方法三(图象变换法)： 由T＝－＝π，点，A＝3可知，题图是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，所以y＝3sin 2，即y＝3sin . 根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑： (1)根据最大值或最小值求出A的值． (2)根据最小正周期求出ω的值． (3)求φ的常用方法如下：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法，确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． [跟踪训练3] (多选)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　) A.A＝3 B.ω＝ C.φ＝－ D.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝3cos 2x的图象 解析：选AB.由题图可知A＝3，由＝－＝π，得T＝4π，则ω＝＝，故A，B正确； 因为f()＝3cos (×＋φ)＝－3， 则cos ＝－1， 所以＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，C错误；所以f(x)＝3cos ，由题意得g(x)＝3cos [×4×(x－)＋]＝3cos (2x－)，D错误． 四　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 [例4] (多选)已知函数f(x)＝cos (2x－)，则(　　) A.f(x)的图象可以由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 B.f(x)的图象关于直线x＝－对称 C.f(x)在[，]上单调递增 D.∀x∈(，]，f(x)∈[－，－] 【解析】　对于A，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)＝sin (2x＋－)＝cos (2x－)的图象，故A正确； 对于B，f(－)＝cos (－)＝0≠±，故B不正确； 对于C，由x∈[，]，可得z＝2x－∈[3π，4π]， 由余弦函数图象可知y＝cos z在[3π，4π]上单调递增，故f(x)在[，]上单调递增，故C正确； 对于D，当x∈(，]时，z＝2x－∈(，]， 由余弦函数图象可知y＝cos z在上单调递减，在上单调递增，且cos π＝－1，cos ＝cos ＝－，所以f(x)∈[－，－]，故D正确． 【答案】　ACD 关于函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的解题策略 (1)验证法：直线x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间，此法适合选择题． (2)换元法：通过诱导公式、三角恒等变换及函数图象间的变换关系，得到所求函数的解析式，一般要化成一角一函数的形式，如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ) .采取“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令z＝ωx＋φ，即通过y＝A sin z或y＝A cos z的性质，来研究函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ) 的性质． [跟踪训练4] (1)(多选)(2025·抚州期中)已知函数f(x)＝2sin (x－)，则(　　) A.f(x)的最小值为－ B.f(x)的最小正周期为2π C.y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称 D.将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin x的图象 解析：选BC.对于A，因为y＝sin (x－)∈[－1，1]，所以f(x)∈[－2，2]，则所以f(x)的最小值为－2，故A错误； 对于B，由正弦函数性质得最小正周期T＝＝2π，故B正确； 对于C，令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，则y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故C正确； 对于D，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得y＝2sin (x－－)＝2sin (x－)的图象，故D错误． (2)将余弦函数y＝cos x的图象向左平移个单位长度，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)得到函数f(x)的图象，若f(x)在区间[0，π]上恰有1个最小值和3个零点，则ω的取值范围为____________． 解析：将余弦函数y＝cos x的图象向左平移个单位长度，可得y＝cos (x＋)的图象，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)，可得f(x)＝cos (ωx＋)的图象，因为x∈[0，π]，且ω>0，则ωx＋∈[，πω＋]， 由题意并结合余弦函数图象可得≤πω＋<3π，解得≤ω<，所以ω的取值范围为[，). 答案：[，) 1．(多选)若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x有f ＝f ，则f ＝(　　) A.－3 B．－1 C.0 D．3 解析：选AD.由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f 是函数f(x)的最大值或最小值，则f ＝3或f＝－3. 2．(多选)(2025·南昌期中)已知函数f(x)＝sin ，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.将函数y＝f(x)上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象 C.f(x)图象的一个对称中心是 D.当x∈时，函数f(x)的值域是 解析：选AC.对于A，f(x)的最小正周期为＝π，A正确； 对于B，y＝sin [2－]＝sin ，B错误； 对于C，f＝sin ＝sin π＝0，所以是f(x)图象的一个对称中心，C正确； 对于D，当x∈时，2x－∈，f(x)∈，D错误． 3.如图为函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为________________． 解析：由题图，可得A＝， ·＝－，所以ω＝2. 因为函数图象过点， 所以sin ＝0，所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z， 又因为－π<φ<0，所以φ＝－， 故函数的解析式为y＝sin . 答案：y＝sin 4．(教材P52T4改编)函数y＝sin 在区间[0，π]上的单调递减区间是________． 解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).结合x∈[0，π]，可得函数y＝sin 在区间[0，π]上的单调递减区间是． 答案： 1．已学习：“五点(画图)法”、由图象求三角函数的解析式、三角函数性质的综合问题． 2．须贯通：三角函数的图象与性质的综合应用． 3．应注意：求φ值时注意单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点的区别． 学科网（北京）股份有限公司 $