1.7.3 正切函数的图象与性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 2sin'a-3sin acos a (2)原式=2sina-3 sin0se= cosa sina十cosa sin'a十cosa cos a =2tan'a-3tan a_2X32-3X39 tan'a-l 32十1 10 随堂步步夯实 1,B[由题意得an390°=三，又an390°=tan(360°+30)= an30=5,3=5,a=35.] 3 3 2.A .'sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,.'.sin 2Xcos 3X tan 4<0. 3.B[由1ama-x)=子，得1ama=子， m收-受）d。=-专] 4.解析：根据正切函数的定义知tana=二6 =- 子，所以工 =10. 答案：10 5.解：sin585cos1290°+cos(-30)sin210°+tan135 =sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+c0s30°sin210°+ tan(180°-45°) =sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45° =sin(180°+45°)cos(180°+30°)+c0s30°sin(180°+30°) tan 45 =sin45cos30°-cos30°sin30°-tan45 4 7.3正切函数的图象与性质 课前预习学案情境引入 1.提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y=tanx的 图象 2提示：指点法作y=anx在x[受·受]上的草图，描出 三点（子，-）00)，（学，1小两线2=±受 知识梳理[思考] 1,提示：正切尚线是由被相互平行的直线x=乏十m,k∈Z所 隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线称作正切曲线各支的 渐近线，正切曲线有无数条渐近线. 2.提示：作正切函数的图象可以用“三点两线法”：所谓“三点” 是指（至-1）00，（受1）“两线”是指x=-受和 x=受，在三点，两线确定的情况下，类似于五点法作图，可 大致画出正切函数在（一受，受）上的简图，然后向左，向右 扩展即得正切曲线 知识点二 π奇函数 (-乏+kx,+kx)k∈Z) (,ok∈D [思考] 3.提示：y=1anx是中心对称图形，对称中心为（受，0）∈ Z),不是轴对称图形. 4.提示：不是.正切函数在每一个单调区间 （-登十，受十如)kED内都是增品数，包在整个定义 线内不是，比知180>30，他1an180°=0<am30=写 预习自测 1A2.D3（至+,+x小∈Z ·2 数学(s·必修第二册 课堂互动学案 [例1门[解] (内题含释计甲-1长u<1 在（受，受）内，满足上速不等式的上的取值范园 又y=tanx的周期为π， 所以一 十kx≤r<平+，k∈Z 所以函数的定义域为 (2)=2x+， x(贤] “y=an:在（子音]上是增画数， aan(-）下≤m子，即-1<≤E 函数的值域为(-1W5]. 变式训练 1.解析：(1)由题意得 r≠x十受(k∈Z, tan x>0, ≠km+受(k∈Z, km<u<kx+受(k∈Z, 故定义域为(km,kx十受)k∈ZD。 (2)y=(tanx-l)2十2，由于tanx∈R,所以当tanx=1时， 函数取最小值2. 答案：I(x,kx+受)水k∈22 [倒2】[解]y=m(合+）-m(合x一)片 得2x-受<<2kx+,k∈Z, 所以画数)=加（壹十）的单明道减区间光 (2k-受，2ka+kez (2)tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π). 为 <2<,所以-受<2-0， 因为受<3<，所以-受<3-<0 里然-受<2-<3-1<受， 又y=anx在（受，受）内是增函数， 所以tan(2-π)<tan(3-π)<tanl. 即tan2<tan3<tanl. 变式训练 2.解：v-3an(否-青)-3an(学-吞）： 得kx一暂<x<kx+kEZ 3 六)y3an(后-)的单调递减区间为 参考答案 [例3][解]1)tan(2x+牙十x）=tam(2z+号) 即a[(+受)十晋]-am(（x+晋)】 f)=an(2x+导)的周期是受 (2)画数的定义城是{女≠受+x,6∈7}， 又，sin(-x)十tan(-x)=-(sinx十tanx), .函数y=sinx十tanx是奇函数. 变式训练 8.解：y=a(or十于)a<0)的周期为音=受，解得w=2 或w=-2.因为w<0,所以w=-2, 故y=am(-2x+牙）--tan(2x-牙)月 由2x-于≠kx+(k∈Z, 解得子号+晋∈， 所以该画数的定义城为{≠经+∈乙，位战为R 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇 函数也不是偶函数」 随堂步步夯实 l.D[y=ianx有无数个递增区间(kx-受，kx十受)(k∈ Z),无递减区间，且在定义域上不是增函数.] 2.A[z+号≠十km,k∈Zx≠若+km,k∈Z.] 3.C[令fu)=tam(2x-音）由2z-吾≠k+受(k∈z, 解得x≠经十晋（∈Z),即定义战为 {:≠经+登∈，由于接画教的定义城不关于原点 对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 由正切函教的图象知y=an(2x一号)没有单调递减区间， 故B错误：C中，：f(看)-tam0=0,故（答0）为图象的 一个对称中心，C正确：D中，y=tan(2x-牙)的最小正周 期T=受，D错误.] 4.解析：-受十k<3x十<受十x,k∈Z. -子+<< 答案：(+经是+经)∈ 5,解：由晋晋≠x+十，k∈,得x≠3十是，长Z故定 义城为{≠3+子∈ 元==3. T=T 号 得-+3<<+3，kZ 故增区间为（一号+3，+3）kE乙。 所以时称中心为（受-是，0）小∈Z ·2 五维课堂 §8.三角函数的简单应用 课前预习学案情境引入 提示：水深随时间的变化呈周期性变化。 知识梳理[思考] 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某 种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这 些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的 失误， 预习自测 1.B2.C 3.-晋 课堂互动学案 [例1门[解] (1)由题图可知A=300,设4=-9004 =180 则周期T=2-)=2(10品)后 w=2年=150元 又当=0时，1=0， 1 即sin(150x·180+9）=0, 而p<受g=晋 故所求的解析式为1=300sin(150t+否)） (2)依题意知，周期T≤0中5≤（w>0, ∴.w≥300π>942，又w∈N+, 故所求最小正整数w=943. 变式训练 1.D[因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一 周大约需要30min, 所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约 需要15tmin, 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m, 所以t=15时，H=120, 对于A,=15时，H=55sin(×15-受）-55sin受-55， 不符合题意： 对于B.t=15时，H=55sn(倍×15+受)）-55sin 一55，不符合题意： 对于C,t=15时，H=55si 3列 (×15+)+5=55sin 十55=0，不符合题意； 对于D.1=15时，H=55sin(需×15-受)十65=55sin号 十65=120，符合题意.故选D.] [例2][解](1)周期T=2元 2=1(s) 列表， 1 2 0 12 12 1 21+ 3π 2 2x 2x+晋 6sin(2a+ 6 0 3 5第一章三角函数 五维课堂 7.3正切函数的图象与性质 课程标准 素养解读 L.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象 通过正切函数图象和性质的学习，培 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. 养学生数学直观想象和数学运算素养 并能利用其性质解决相关问题 课前。预习学案 [情境引入] 知识点二]正切函数的图象与性质 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰： 解析式 y=tan x “日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者 热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高， 主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大 地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状 图象 T 0 3T 态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太 阳光和地面的角度问题 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出 定义域 {女≠+x,∈ 正切函数的图象吗？ 值域 R 最小 正周期 2.你还有其它方法吗？ 奇偶性 在开区间 单调性 上都是增函数 [知识梳理] [知识点一]正切曲线 对称性 对称中心 正切函数的图象称作正切曲线。 ?思考1.正切曲线有何特征？ 零点 kπ，k∈Z 2思考3.正切曲线是中心对称图形吗？若是， 对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 2.用怎样的方法可以快速简洁地作出正切函 数的图象？ 4.正切函数在定义域上是单调函数吗？ ·45· 世五维课堂 数学，·必修第二册 [预习自测] 1.函数y=tan(x十π)是 C.{红lr≠x-平，k∈Z A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 D.{z≠kr+于∈Z 2.函数y=tanx十 不的定义域是 A{女≠-} 3.函数y=tan-)的单调递增区间 B{x≠ 是 课堂。互动学案 题型一与正切函数有关的定义域、值域问题 2.求正切函数的值域的方法 [例1](1)求函数y=√tanx+1+lg(1-tanx)的 ①结合图象. 定义域： ②利用单调性 (2②)求函数y-1an(2x+)x∈（一]的 ③在复杂情况下，利用换元法，设t=ωx 十9 值域， 再求解 [思路点拔了“()先列不等式组，然后借助 ⊙[变式训练] 正切函数的图象与性质解不等式；(2)令之 1.(1)函数y=ln(tanx)的定义域 2x十吾，转化为求1an文的位城。 (2)函数y=tan2x一2tanx十3的最小值 为 题型三写正切函数有关的函数单调性问题“ [例2](1)求函数y=tan +)的单调 区间； (2)比较tan1、tan2、tan3的大小 汇思路点拨]解答(1)时先将函数化为y= tan(合-置》再把7r-晋整体代入 +r,十xk∈Z这个区间内，解 出x便可.解答(2)的关键是利用tan2=tan(2 r),tan3=tan(3一π)，把角化归到同一单 规律方法 1.求正切函数定义域的方法 调区间肉，再利用)=anx在〔名)上 求与正切函数有关的函数的定义域时， 的单调性判断其大小关系： 除了求函数定义域的一般要求外，还要 保证正切函数y=tanx有意义，即x卡 受十x,k∈乙，而对于构凳的三角不等 式，常利用三角函数的图象求解.解形如 tanx>a的不等式的步骤： 作图一作在（受，受）上的正切函数图象 求界一求在（受，受)上使anx=a成立的x值 求范围一 求在（受，受）上使amx>a成立的x的范围 定义域一→据正切函数的周期性，写出定义域 ·46· 第一章三角函数 五维课堂兰 规律方法 汇思路点拨](1)利用公式法或定义法求函 1.求函数y=Atan(wx+p)(A,w,p都是 数的周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函 常数)的单调区间的方法 数的奇偶性. (1)若w>0,由于y=tanx在每一个单调 区间上都是增函数，故可用“整体代换” 的思想，令x一登<a十9<x十受 k∈Z,求得x的范围即可. (2)若w<0,可利用诱导公式先把y=Atan(u 十p)转化为y=Atan[一（一wr-p门= 一Atan(一ωx一p),即把x的系数化为 正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x的范围即可， 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化 到同一单调区间内· 规律方法 (2)运用单调性比较大小关系。 (1)一般地，函数y=Atan(ux十p)十b(A≠0， ⊙[变式训练] w>0)的周期为T=灭，常常使用此公 w 2.求函数y=3tan 的单调区间. 式来求周期. (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其 是否关于原点对称.若不对称，则函数 无奇偶性，若对称，再判断∫（一x)与 (x)间的关系. ⊙[变式训练】 3.已知函数y=t nox+(u<o)的周期为 乏，求该函数的定义域、值域，并判断函数的奇 偶性。 题型三与正切函数有关的周期性、奇偶性问题】 [例3](1)求/x)=1an2x+号)的周期： (2)判断y=sinx十tanx的奇偶性， ● 随堂。步步夯实 1.下列说法正确的是 ( 2.函数y=an+罗) 的定义域是 A.y=tanx是增函数 B.y=tanx在第一象限是增函数 A,x∈R且x≠x+若∈Z C.y=tanx在某一区间上是减函数 B.{xx∈R且x≠kπ- 吾，k∈Z D.y=amx在区间(x一受饭十水k∈D上 C.xx∈R且x≠2x+若∈Z 是增函数 D.xx∈R且x≠2x-吾A∈Z ·47· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 3.关于函数y=tan 2.x 下列说法正确 5.求函数y=tan +晋) 的定义域、周期、单调 的是 区间和对称中心. A.是奇函数 B.在区间0，上单调递减 C(晋，0]为图象的一个对称中心 D.最小正周期为元 4.函数y=2tan3x+) 一5的单调递增区间是 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 §8.三角函数的简单应用 课程标准 素养解读 通过实际问题，构建三角函数数学模 1.会用三角函数解决简单的实际问题 型，重点提升学生的数学抽象、数学运 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 算和数学建模素养 课前。预习学亲 [情境引入] 2.用函数模型解决实际问题的一般步骤 温州市区著名景 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解 点—江心屿，江心屿上面 函数模型检验 有座寺庙—江心寺，在江 知识点二] 函数y=Asin(wx+g),A>0, 心寺中题了一副非常知名 w>0中参数的物理意义 的对联.上联是：云朝朝朝 振幅是A: 朝朝朝朝朝散；下联是：潮 u十伞是相位 江心屿 周期T= 2π y=Asin(r十p), 长长长长长长长长消.该对联巧妙地运用了叠 A>0,w>0 当x=0时的相 字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯 位9称为初相 江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水 频率f= 2元 深的关系表： 思考在建模过程中，散点图的作用是 时间 0136 8 9 12151821 24 什么？ 水深66.257.552.842.557.552.55 问题仔细观察表中的数据，你能从中得到一些 什么信息？ 知识点三]四类周期现象模型 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(w.x+p)(x∈ [知识梳理] [0,十∞)，A>0,w>0)来表示. [知识点一]三角函数的应用 (2)单摆弹簧等简谐振动模型 1.三角函数模型的作用 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一 为y=Asin(ωx十p),其中x表示时间，y表 种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画 周期变化规律、预测未来等方面发挥重要 示位移，A表示振幅，会表示颜辛9表示初 作用. 相位 ·48·