第1章 §5 5.2 余弦函数的图象与性质再认识（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦余弦函数的图象与性质这一核心知识点，承接上节课正弦函数“五点法”作图，通过诱导公式及函数平移建立知识联系，系统梳理“五点法”作图步骤、定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性等内容，搭建从正弦到余弦的学习支架。 该资料以“思考”引导学生用数学眼光观察新旧知识关联，通过例题中换元法求值域等培养数学思维，以列表描点等数学语言规范表达作图过程。课中助力教师高效授课，课后练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 新课导入 学习目标 　　上节课，我们借助于单位圆，用“五点(画图)法”作出了正弦函数y＝sin x的图象——正弦曲线，那么对于余弦函数y＝cos x的图象，是不是也可以用同样的方法作出它的简图呢？本节课我们来学习余弦函数的图象与性质． 1.能用“五点(画图)法”画余弦函数在[0，2π]上的图象． 2．理解余弦曲线的意义． 3．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值． 一　余弦函数的图象(五点(画图)法) 思考1　借助诱导公式cos x＝sin 及正弦函数图象的“五点(画图)法”，你能得到作余弦函数在上图象的“五个点”吗？ 提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 思考2　函数y＝f(x＋a)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象怎样平移而得到？ 提示：将函数y＝f(x)的图象沿着x轴向左平移a个单位长度而得到． [知识梳理] 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线．根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)这五个点后，函数y＝cos x在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).　 因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． [例1] (对接教材例4)用“五点(画图)法”画出y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象． 【解】　列表： x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝1－cos x 0 1 2 1 0 于是得到函数y＝1－cos x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，0)，，(π，2)，，(2π，0)， 描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，其图象如图． 利用“五点(画图)法”作图时需要注意以下三点： (1)应用的前提条件是精确度要求不高． (2)利用光滑的曲线连接时，一般最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”的现象． (3)“五点(画图)法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分． [跟踪训练1] 用“五点(画图)法”画出y＝1＋2cos x，x∈[0，2π]的图象． 解：列表： x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝1＋2cos x 3 1 －1 1 3 于是得到函数y＝1＋2cos x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，3)，，(π，－1)，，(2π，3)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，其图象如图． 二　余弦函数性质的再认识 角度1　定义域、最大(小)值和值域 [例2] (1)求f(x)＝的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y＝－cos2x＋cosx； ②y＝. 【解】　(1)要使函数有意义，则2cos x－1≥0，所以cos x≥，所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为(k∈Z). (2)①y＝－＋. 因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝时，ymax＝； 当cos x＝－1时，ymin＝－2.所以函数y＝－cos2x＋cosx的值域是. ②y＝＝－1. 因为－1≤cos x≤1， 所以1≤2＋cos x≤3， 所以≤≤1， 所以≤≤4， 所以≤－1≤3，即≤y≤3. 所以函数y＝的值域为. 求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性． (2)cos x的单调性． (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． [跟踪训练2] (1)函数y＝cos x(x∈)的最大值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D. 解析：选B.由余弦函数性质易知，当x∈时，cos x∈[－1，0]，则函数y＝cos x(x∈)的最大值为0.故选B. (2)已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．4 B．4－2 C．6 D．4＋2 解析：选C.在单位圆中，易知函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.故选C. 角度2　周期性与奇偶性 [例3] (1)y＝sin 是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 (2)函数y＝的最小正周期为(　　) A．2π B．π C． D．4π 【解析】　(1)因为y＝sin ＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．故选D. (2)作出函数y＝的图象(图略)，由图象知，该函数的最小正周期为2π.故选A. 【答案】　(1)D　(2)A 余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称，是偶函数，最小正周期是2π. [跟踪训练3] (1)下列关于函数f(x)＝的说法正确的是(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选A. (2)(2025·九江期中)定义在R上的偶函数f(x)，其最小正周期是π，且当 x∈(0，]时，f(x)＝cos x，则f()的值为________． 解析：因为f(x)的最小正周期是π， 所以f()＝f(2π－)＝f(－)， 又因为f(x)是偶函数， 所以f()＝f(－)＝f()＝cos ＝. 答案： 角度3　单调性的应用 [例4] (1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a (2)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是____________． 【解析】　(1)由题意得sin 47°＝sin (90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在0°≤x≤90°上单调递减，所以cos 37°>cos 43°>cos 47°，即b>a>c.故选C. (2)因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 【答案】　(1)C　(2)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (1)对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解题方法一致． (2)单调性是对一个函数的某个区间而言的，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小． [跟踪训练4] (1)已知函数f(x)＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有(　　) A．f(sin A)>f(sin B) B．f(cos A)>f(cos B) C．f(sin A)>f(cos B) D．f(cos A)>f(sin B) 解析：选D.因为A，B是锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，所以0<－B<A<，因为y＝sin x在(0，)上单调递增，所以0<sin (－B)＝cos B<sin A<1，又函数f(x)＝cos x在[0，1]上单调递减，所以f(cos B)>f(sin A)，同理，f(cos A)>f(sin B)，故C错误，D正确；因为角A，B的大小关系不确定，故A，B错误． (2)若y＝sin x与y＝cos x都单调递减，则x的取值范围是____________． 解析：因为y＝sin x与y＝cos x的单调减区间分别为，k∈Z和[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以 ∩[2kπ，2kπ＋π]＝，k∈Z. 答案：，k∈Z 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) 解析：选D.由题意得 y＝显然只有D合适．故选D. 2．(教材P38T1(3)改编)函数y＝－cos x，当x∈[0，2π]时，函数(　　) A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B.在，上单调递增，在上单调递减 C．在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减 D．在上单调递增，在，上单调递减 解析：选A.函数y＝－cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).因为x∈[0，2π]，所以y＝－cos x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减． 3．函数y＝的值域是________． 解析：因为－1≤cos x≤1，且1－cos x≠0， 所以0<1－cos x≤2，所以y＝≥， 即函数y＝的值域为. 答案： 4．(教材P38T4改编)写出一个同时满足以下条件的函数______________________． ①是周期函数； ②最大值为3，最小值为－1； ③在[0，1]上单调． 解析：因为f(x)＝2cos x＋1的周期为2π，满足条件①； 又cos x∈[－1，1]，所以2cos x＋1∈[－1，3]，满足条件②； 因为函数y＝cos x在区间[0，1]上单调递减，所以f(x)＝2cos x＋1在区间[0，1]上单调递减，故满足条件③.故函数f(x)＝2cos x＋1符合题意． 答案：f(x)＝2cos x＋1(答案不唯一) 1．已学习：五点(画图)法、余弦函数的性质、余弦函数单调性的应用． 2．须贯通：五点(画图)法画余弦函数的图象以及余弦函数性质的应用． 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时，忽视cos x本身具有的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $