第1章 §5 5.1 正弦函数的图象与性质再认识（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦正弦函数的图象与性质再认识，以“五点法”作图为基础，系统梳理从[0,2π]图象到R上图象的拓展，进而探究定义域、最值、周期性、奇偶性及单调性等性质，构建从直观作图到抽象性质应用的学习支架。 资料亮点在于通过单位圆与五点法培养几何直观（数学眼光），结合例题与跟踪训练发展推理能力（数学思维），知识梳理与练习题设计助力学生构建知识网络（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 新课导入 学习目标 　　当我们遇到一个新函数时，要直观、全面地了解其基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，今天我们就一起来进一步学习正弦函数的性质． 1.能用“五点(画图)法”画正弦函数在[0，2π]上的图象． 2．理解正弦曲线的意义． 3．掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值． 一　正弦函数的图象(五点(画图)法) 思考1　 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知点B的纵坐标y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0). 思考2　根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象y＝sin x，x∈R的图象吗？ 提示：根据诱导公式sin (x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，得y＝sin x，x∈R的图象． [知识梳理] 根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)这五个关键点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图). 因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． [例1] (对接教材例2)用五点(画图)法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图． 【解】　列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 于是得到y＝2sin x－1在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1).描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图． “五点(画图)法”作形如y＝a sin x＋b，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，，2π，求出对应的函数值． (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内． (3)连线：用光滑的曲线将所描的点顺次连接起来．在连线过程中要注意曲线的“凸性”． [跟踪训练1] 用五点(画图)法画出函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图． 解：列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 于是得到函数y＝2－sin x在[0，2π]上的五个关键点为(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，得函数y＝2－sin x的简图，如图． 二　正弦函数性质的再认识 角度1　定义域、 最值和值域 [例2] (1)函数y＝的定义域为____________． (2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域． 【解】　(1)为使函数有意义，需满足 即0<sin x≤. 由正弦函数的图象(如图1)或单位圆(如图2)，可得函数的定义域为{x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}． 故填{x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}． (2)当x∈时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3； 当x∈时，ymin＝－2×1＋1＝－1， 所以函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3]. 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题． (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝2a sin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 解：因为－≤x≤，所以－≤sin x≤1.若a>0，则 解得 若a<0，则解得 当a＝0时，不符合题意． 故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12. (2)求使函数y＝－sin 2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值． 解：令t＝sin x，则－1≤t≤1， y＝－t2＋t＋＝－＋2. 所以当t＝时，ymax＝2，此时sin x＝，即x∈. 当t＝－1时，ymin＝－，此时sin x＝－1，即x∈. 角度2　周期性与奇偶性 [例3] 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (1)f(x)＝sin x(x∈R)； (2)f(x)＝|sin x|. 【解】　(1)因为x∈R，所以定义域关于原点对称，因为f(－x)＝sin ＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是奇函数．设f(x)＝sin x的周期为T，因为sin (x＋2kπ)＝sin x，k∈Z，要使sin (x＋T)＝sin x，即sin (x＋)＝sin x，则＝2kπ，k∈Z且k≠0，所以T＝4kπ，k∈Z且k≠0.当k＝1时，T＝4π.所以f(x)＝sin x的最小正周期是4π. (2)作出f(x)＝|sin x|的图象，如图． 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π. (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法． (2)函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数． [跟踪训练3] (1)f(x)＝x sin x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数，又是偶函数 解析：选B.因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．故选B. (2)(2025·汉中月考)已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，当x∈[，3π]时，求f(x)的解析式． 解：当x∈[，3π]时，3π－x∈[0，]， 因为当x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x， 所以f(3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x， 又f(x)是以π为周期的偶函数， 所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝1－sin x，x∈[，3π]. 角度3　单调性的应用 [例4] (1)(对接教材例1)下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.cos 10°<sin 168°<sin 11° (2)y＝2－sin x的单调递减区间为________． 【解析】　(1)sin 168°＝sin (180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即 sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. (2)当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，y＝2－sin x单调递减，故y＝2－sin x的单调递减区间为(k∈Z). 【答案】　(1)C　(2)[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) (1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤： ①一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上． ②二比较：利用函数的单调性比较大小． (2)对形如y＝a sin x＋b形式的函数．当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反． [跟踪训练4] (1)函数值sin ，sin ，sin 按从大到小的顺序排列为________________． 解析：因为<<<<π，又函数y＝sin x在上单调递减，所以sin >sin >sin . 答案：sin >sin >sin (2)若x∈[0，π]，则y＝1－3sin x的单调递减区间为________． 解析：若x∈[0，π]，因为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)∩[0，π]＝，所以当x∈[0，π]时，y＝1－3sin x的单调递减区间为. 答案： 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(教材P33T1(3)改编)三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的图象为(　　) 　　　 　　　 解析：选C.因为y＝2sin x为奇函数，所以y＝2sin x的图象关于原点对称，故排除A，D选项；三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的最大值为y＝2sin ＝2，故排除B选项；易知C选项正确，故选C. 2．函数f(x)＝sin x＋1的零点是(　　) A.＋2kπ(k∈Z) B．＋2kπ(k∈Z) C.＋kπ(k∈Z) D．kπ(k∈Z) 解析：选B.令f(x)＝sin x＋1＝0，则sin x＝－1，所以x＝＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)＝sin x＋1的零点是＋2kπ(k∈Z).故选B. 3．函数y＝的定义域为_______________________． 解析：由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，即sin x≥.由y＝sin x在[0，2π]上的图象(图略)可知，≤x≤，又x∈R，故y＝的定义域为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z . 答案：，k∈Z 4．函数y＝a sin x＋1的最大值是2，则实数a的值为________． 解析：因为函数y＝a sin x＋1的最大值是2，所以a sin x的最大值为1，当a>0，sin x取最大值1时，a sin x取得最大值，则a＝1；当a<0，sin x取最小值－1时，a sin x取得最大值，则－a＝1，得a＝－1.综上，a＝±1. 答案：±1 1．已学习：正弦函数的图象、“五点(画图)法”作图、正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的最值(值域). 2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域). 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时忽视sin x本身具有的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $