第1章 §4 4.4 诱导公式与旋转（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦诱导公式与旋转核心知识点，基于单位圆旋转，从角的终边关系出发推导正弦、余弦函数诱导公式，衔接三角函数定义，构建从概念推导到求值、化简及综合应用的完整学习支架。 以风车扇叶旋转情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链驱动公式推导培养数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后供学生巩固练习，有效查漏补缺。

4．4　诱导公式与旋转 新课导入 学习目标 如图所示的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶之间的角度为直角．若将风车扇叶的最外侧看作一个质点，那么四个质点之间存在什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？这就是本节课我们要学习的内容！ 1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式． 2．能够运用诱导公式求值、化简，掌握诱导公式的综合应用． 一　诱导公式 观察如图单位圆及角α，＋α与－α的终边． 思考1　角α的终边与－α的终边有何关系？ 提示：两角的终边关于直线y＝x对称． 思考2　若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？ 提示：点P1与P2关于直线y＝x对称，点P2的坐标为(y，x). 思考3　类似地，角α的终边与＋α的终边又有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P1，P3的坐标有什么关系？ 提示：α与＋α的终边垂直；点P3的横坐标与点P1的纵坐标互为相反数，P3的纵坐标与P1的横坐标相等． [知识梳理] 1．诱导公式与旋转 (1)sin＝cos__α，cos ＝－sin__α． (2)sin ＝－cos__α，cos ＝sin__α． 2．诱导公式 sin (α＋2kπ)＝sin__α (k∈Z) cos (α＋2kπ)＝cos__α (k∈Z) sin (－α)＝－sin__α cos (－α)＝cos__α sin (2π－α)＝－sin__α cos (2π－α)＝cos__α sin (π－α)＝sin__α cos (π－α)＝－cos__α sin (π＋α)＝－sin__α cos (π＋α)＝－cos__α sin ＝cos__α cos ＝－sin__α sin ＝cos__α cos ＝sin__α 角度1　利用诱导公式求值 [例1] (1)(对接教材例8)sin (－1 290°)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)已知sin ＝，则cos 的值为________． 【解析】　(1)sin (－1 290°)＝sin (150°－360°×4)＝sin 150°＝sin (90°＋60°)＝cos 60°＝.故选A. (2)cos ＝cos ＝sin ＝.　 【答案】　(1)A　(2) 母题探究　本例(2)中条件变为sin ＝，问题不变，如何求解？ 解：因为＋＝， 所以cos ＝cos [－] ＝－sin ＝－. (1)利用诱导公式求值的策略 ①已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． ②对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． (2)常见的特殊角 在条件求值问题中，当已知角与结论中的角不同时，要注意这两个角的和或差与，π，，2π之间的关系，若存在关系，可利用诱导公式整体代换． 与有关的特殊角为与，与，与，与等． 与π有关的特殊角为与等． [跟踪训练1] (1)已知cos (75°＋α)＝，则cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝________． 解析：因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(75°＋α)＝90°， 所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)＝－， sin (15°－α)＝sin [90°－(75°＋α)]＝cos (75°＋α)＝. 所以cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝－＋＝0. 答案：0 (2)已知sin φ＝，则cos ＋sin (3π－φ)的值为________． 解析：因为sin φ＝， 所以cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝sin φ＝，sin (3π－φ)＝sin (2π＋π－φ)＝sin (π－φ)＝sin φ＝，所以cos ＋sin (3π－φ)＝＋＝. 答案： 角度2　利用诱导公式化简 [例2] (对接教材例9)已知f(α)＝，试化简f(α). 【解】　f(α)＝ ＝ ＝ ＝ ＝－cos α. 三角函数式化简的策略 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值． 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，若加整数倍的π，则函数名称不变；若加二分之奇数倍的π，则函数名称改变． [跟踪训练2] 化简：··.　 解：原式＝·· ＝··＝1. 二　诱导公式的综合应用 [例3] 已知角α的终边不在坐标轴上，f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－2 385°，求f(α)； (3)若sin ＝，求f. 【解】　(1)f(α)＝＝－cos α. (2)若α＝－2 385°，f(α)＝－cos (－2 385°)＝－cos (－7×360°＋135°)＝－cos 135°＝sin 45°＝. (3)因为 sin ＝， 所以f＝－cos ＝－cos (＋－α)＝sin ＝－sin ＝－. 诱导公式综合应用要“三看” (1)看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． (2)看函数名称：一般是正弦、余弦互化． (3)看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． [跟踪训练3] 已知角θ的终边经过点P(3a，4a)(a＜0). (1)求sin θ的值； (2)求sin ＋cos (θ－π)的值． 解：(1)点P到坐标原点的距离r＝＝5|a|. 因为a＜0，所以r＝－5a.根据三角函数的定义，可得sin θ＝＝－. (2)根据三角函数的定义，可得cos θ＝＝－，所以sin ＋cos (θ－π)＝－cos θ－cos θ＝－2cos θ＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知sin 37°＝a，则cos 593°＝(　　) A．a B．－a C． D．－ 解析：选B.cos 593°＝cos (630°－37°)＝cos (270°－37°)＝－cos (90°－37°)＝－sin 37°＝－a.故选B. 2．(教材P25T3改编)若cos (2π－α)＝，则sin ＝(　　) A.－ B．－ C． D．± 解析：选A.因为cos (2π－α)＝cos (－α)＝cos α＝，所以sin ＝－cos α＝－. 故选A. 3．已知角α的终边经过点P(－4，3)，则＝________． 解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以sin α＝，cos α＝－，所以＝＝＝－. 答案：－ 4．已知f(α)＝，则f＝________． 解析：因为f(α)＝ ＝＝， 所以f＝＝2. 答案：2 1．已学习：正弦函数、余弦函数的诱导公式、利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．须贯通：利用诱导公式进行化简与求值． 3．应注意：(1)公式中的角α可以是任意角； (2)函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造． 学科网（北京）股份有限公司 $