第1章 §4 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦单位圆与正弦、余弦函数基本性质，系统梳理定义域、值域与最值、周期性、单调性、函数值符号及三角函数线等核心知识点。以三角函数定义为起点，以单位圆为工具，通过知识梳理、例题解析、跟踪训练构建学习支架，逐步深化对性质的理解与应用。 资料特色在于以单位圆为核心纽带，融合几何直观与逻辑推理。通过单位圆分析单调性培养数学眼光，分类讨论参数最值问题发展数学思维，用三角函数线解决比较问题提升数学语言表达。课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏，有效提升学习效果。

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 新课导入 学习目标 　　根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质，试想应该从哪些方面进行研究呢？ 1.能利用三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数的基本性质． 2．初步运用正弦函数、余弦函数的基本性质解决相关问题． 3．掌握正弦函数值、余弦函数值在各个象限内的符号． 一　定义域 [知识梳理] 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. [例1] 求下列函数的定义域： (1)y＝ ； (2)y＝lg ＋. 【解】　(1)要使解析式有意义，则必须2sin α－≥0，即sin α≥. 图中阴影部分就是满足条件的角α的取值范围，即{α≤α≤2kπ＋，k∈Z}． (2)要使解析式有意义，则必须 即 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示， 即{α≤α＜2kπ＋，k∈Z}． (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． [跟踪训练1] 函数y＝的定义域为____________． 解析：要使有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－， 图中阴影部分即为所求，则x的取值范围是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z. 答案：[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z 二　最大(小)值、值域 [知识梳理] 1．当自变量α∈R时，0≤|sin α|≤1，0≤|cos α|≤1. 2．当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1． 3．当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，余弦函数取得最小值－1． [例2] (对接教材例4)(1)求函数y＝cos x的值域． (2)已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 【解】　(1)由单位圆，可知当－≤x≤时，cos x∈，所以y＝cos x(－≤x≤)的值域为. (2)当a＞0时，ymax＝a×1＋1＝3，解得a＝2， 所以当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，解得a＝－2， 所以当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. 综上，它的最小值为－1. 求正、余弦函数最值(值域)时的注意点 (1)求正、余弦函数的最值(值域)时应注意定义域，解题时可借助单位圆进行分析． (2)求含有参数的最值(值域)时，应注意对参数分类讨论． [跟踪训练2] (1)若cos α＝2m＋3，且α∈，则m的取值范围为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析： 选C.因为α∈，所以结合单位圆可知cos α∈，即≤2m＋3≤1，解得－≤m≤－1.故选C. (2)函数y＝2＋cos x，x∈的值域是________． 解析：由单位圆，可知当x∈(－，]时，cos x∈，所以2＋cos x∈，所以函数y＝2＋cos x，x∈的值域为. 答案： 三　周期性 [知识梳理] sin (α＋2kπ)＝sin__α，cos (α＋2kπ)＝cos__α，其中k∈Z，α∈R，正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α均是周期函数，对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π． [例3] (1)sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)cos (－1 380°)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 【解析】　(1)sin ＝sin ＝sin ＝，故选A. (2)cos (－1 380°)＝cos (－4×360°＋60°)＝cos 60°＝.故选B. 【答案】　(1)A　(2)B 求正弦、余弦函数值的主体思路是“负化正，大化小”，可利用周期性先把要求角的正弦、余弦函数值转化为[0，2π)内的角的正弦、余弦函数值．要熟记特殊角(0°，30°，45°，60°，90°，120°等)的正弦、余弦函数值． [跟踪训练3] (1)cos 的值为(　　) A． B．－ C． D． 解析：选A.cos ＝cos ＝cos ＝.故选A. (2)sin 405°－sin 450°－cos 765°＝________． 解析：sin 405°－sin 450°－cos 765° ＝sin (360°＋45°)－sin (360°＋90°)－cos (720°＋45°) ＝sin 45°－sin 90°－cos 45°＝－1－＝－1. 答案：－1 四　单调性 [知识梳理] 正弦函数v＝sin α在区间(k∈Z)上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减；余弦函数u＝cos α在区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上单调递减． [例4] (对接教材例3)讨论函数u＝cos α在区间上的单调性． 【解】　 在单位圆中画出角α的终边所在区域， 可得u＝cos α在区间上单调递增；在区间上单调递减． 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能合并． [跟踪训练4] (1)(多选)下列选项中不正确的是(　　) A．函数y＝cos x在区间，上分别单调递减 B．函数y＝sin x在区间，上分别单调递增 C.函数y＝cos x在区间上单调递减 D．函数y＝sin x在区间上单调递增 解析：选ABC.因为函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以A不正确，C不正确．因为函数y＝sin x 的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，故B不正确，D正确．故选ABC. (2)已知a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a 解析：选C. c＝sin ＝sin ，因为0<<<<，且v＝sin α在上单调递增，所以sin <sin <sin ，即b<c<a.故选C. 五　正弦函数值和余弦函数值的符号 [知识梳理] 　　　　象限 三角函数　　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ [例5] (1)已知＝－，且lg (cos α)有意义，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)设角α的终边不在坐标轴上，则函数y＝＋的值域为____________． 【解析】　(1)由＝－可知sin α＜0. 由lg (cos α)有意义，可得cos α＞0， 所以角α是第四象限角．故选D. (2)当α为第一象限角时，sin α＞0，cos α＞0， 所以＋＝1＋1＝2， 当α为第二象限角时，sin α＞0，cos α＜0， 所以＋＝1－1＝0， 当α为第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0， 所以＋＝－1－1＝－2， 当α为第四象限角时，sin α＜0，cos α＞0， 所以＋＝－1＋1＝0， 综上，函数的值域为{－2，0，2}． 【答案】　(1)D　(2){－2，0，2} 正弦、余弦函数值的正负规律 [跟踪训练5] (1)已知点P(cos 305°，sin 305°)，则点P所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.因为270°<305°<360°，所以305°角为第四象限角，所以cos 305°>0，sin 305°<0，所以点 P(cos 305°，sin 305°)在第四象限．故选D. (2)若α是第二、三象限角，且cos α＝，则实数m的取值范围是________． 解析：因为α是第二、三象限角，所以－1<cos α<0，即－1<＜0，解得－1<m<. 答案： 拓视野 三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线． 记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 提醒　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正． [典例1] 已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小__________．(用“<”连接) 【解析】　如图所示， 设单位圆与角α的终边交于点P，与x轴的正半轴交于点A，作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线的定义，得sin α＝MP，tan α＝AT，所以S△AOP＝·OA·MP＝sin α；S扇形AOP＝α；S△AOT＝·OA·AT＝tan α.又因为S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT， 所以sin α＜α＜tan α. 【答案】　sin α＜α＜tan α [典例2] 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥；(2)cos α≤－. 【解】　(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图1中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为. (2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图2中的阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.　 [练习1] 若a＝sin 2，b＝cos 2，则a，b的大小关系为(　　) A.a<b B．a>b C．a＝b D．不能确定 解析： 选B.因为<2<，作出2的正弦线，余弦线．由图知sin 2>cos 2，即a>b. [练习2] 满足f(α)＝的角α的集合是____________． 解析： 要使函数f(α)有意义，则sin α≥.如图所示，画出单位圆，作直线y＝，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，则OP1与OP2围成的阴影部分区域即为角α的终边的范围，故角α的集合是.　 答案： 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．sin 的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：选C.sin ＝sin ＝sin ＝.故选C. 2．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D.因为点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，所以所以角θ为第四象限角．故选D. 3．(教材P19T1改编)函数y＝cos x，x∈的单调递减区间为________． 答案：[0，π] 4．(教材P20T4改编)函数y＝－2sin x＋1，x∈的值域为____________． 解析：由单位圆可知，当x∈时，sin x∈，所以y∈[－1，2]， 所以y＝－2sin x＋1，x∈的值域为[－1，2]. 答案：[－1，2] 1．已学习：正弦、余弦函数的定义域，正弦、余弦函数的值域与最值，正弦、余弦函数的周期性和单调性． 2．须贯通：正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，说明角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系． 3．应注意：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误． 学科网（北京）股份有限公司 $