1.4.3 诱导公式与对称-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦诱导公式与对称核心知识点，基于单位圆对称性，系统梳理角α与-α、π±α的正弦余弦函数关系，构建从任意角三角函数化简求值到锐角转化的学习支架，包含公式推导、记忆口诀及基础训练。 该资料采用梯度进阶式教学，通过单位圆对称图示培养数学眼光的几何直观，以“函数名不变，符号看象限”口诀强化数学语言表达，题型训练（如条件求值）发展数学思维的逻辑推理。课中助力教师分层教学，课后学生可借例题与训练巩固，有效查漏补缺。

4.3　诱导公式与对称 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.通过单位圆的对称性掌握角α与-α的正弦函数、余弦函数关系. 2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系. 3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的 化简、求值问题. 1.sin α,cos α与sin(-α),cos(-α)的关系 终边关系 图示 点P与P'关于x轴对称 公式 sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α 性质 正弦函数v=sin α是奇函数,余弦函数u=cos α是偶函数 2.sin α,cos α与sin(α±π),cos(α±π)的关系 终边关系 图示 点P与P'关于原点对称 公式 sin(α+π)=-sin α,cos(α+π)=-cos α, sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α 3.sin α,cos α与sin(π-α),cos(π-α)的关系 终边关系 图示 点P与P' 关于y轴对称 公式 sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α |微|点|助|解| (1)诱导公式中α可以是任意角. (2)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示. (3)公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”. “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号,如sin(α+π),若把α看成锐角,则α+π在第三象限,所以取负值,故sin(α+π)=-sin α. 基础落实训练 1.化简:cos(3π-α)= (　　) A.cos α B.-cos α C.sin α D.-sin α 解析:选B　cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α.　 2.计算:sin 210°= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,故选D. 3.角与角的终边关于__________对称.  答案:原点 题型(一)　对称的理解 [例1]　画出下列各角的终边与单位圆的交点,并说出它们的对称关系. (1),;　(2),-; (3)-,;　(4)-,. 解:如图: (1)如图①,角与的终边与单位圆的交点关于y轴对称. (2)如图②,角与-的终边与单位圆的交点关于x轴对称. (3)如图③,角-与的终边与单位圆的交点重合. (4)如图④,角-与的终边与单位圆的交点关于原点对称. 　　|思|维|建|模|　判断两角终边位置关系的步骤 建系 画单位圆,以原点为圆心作出单位圆 找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小 判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系 　　[针对训练] 1.角α的终边与单位圆的交点坐标为,试写出角π-α,α+π,-α,α-π的终边与单位圆交点的坐标. 解:由角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,得角π-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α+π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α+π的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,得角-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α-π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α-π的终边与单位圆的交点坐标为. 题型(二)　给角求值 [例2]　计算下列各式的值. (1)sin 750°. (2)sin-cos. (3)cos+cos +cos+cos+cos+cos. 解:(1)sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=. (2)原式=-sin-cos=-sin-cos=sin+cos=+=1. (3)原式=cos+cos+cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0. |思|维|建|模|　利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 　　[针对训练] 2.计算下列各式的值. (1)cos(-660°)+sin 390°; (2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°; (3)sin+cos+cos. 解:(1)cos(-660°)+sin 390°=cos(-720°+60°)+sin 30°=+=1. (2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035° =sin(30°-360°)-cos(240°+720°)-cos(1 080°-45°)=sin 30°-cos 240°-cos(-45°) =sin 30°+cos 60°-cos 45°=+- =1-. (3)sin+cos+cos =sin+cos+cos =-sin+cos+cos =-sin-cos-cos =--- =--. 题型(三)　条件求值 [例3]　已知cos=,求下列各式的值. (1)cos;(2)cos. 解:(1)cos=cos =-cos=-. (2)cos=cos =cos=cos=. 　　[变式拓展] 若本例的条件不变,求cos-sin2的值. 解:因为cos=cos =-cos=-,sin2 =sin2=1-cos2 =1-=, 所以cos-sin2 =--=-. 　　|思|维|建|模|　解决条件求值问题的两个技巧 [提醒]　设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键. 　　[针对训练] 3.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于 (　　) A. B.± C. D.- 解析:选D　由cos(π+α)=-,得cos α=, ∵π<α<2π,∴α=. 故sin(2π+α)=sin α=sin=-sin=-. 4.已知sin(π-x)=,则(n∈Z)=__________.  解析:由sin(π-x)=,得sin x=. 当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时, = ==sin2x=; 当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时, ===sin2x=.综上,原式=. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $