第1章 §4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦任意角的正弦函数、余弦函数定义这一核心知识点，从单位圆中终边与圆交点的横纵坐标定义出发，延伸至终边上任意点坐标计算（r=√(x²+y²)，sinα=y/r，cosα=x/r），构建从特殊到一般的学习支架，衔接初中锐角三角函数，为后续性质学习奠定基础。 该资料以“水车转动”现实情境导入，引导学生用数学眼光观察现象，通过特殊角坐标归纳定义培养推理意识的数学思维，例题与跟踪训练结合具体问题（如终边上点求函数值）强化数学语言表达。课中助教师分层教学，课后供学生查漏补缺，有效巩固知识应用。

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 新课导入 学习目标 江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．若把水车放在坐标系中，则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示． 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．会用三角函数定义解决相关问题． 一　任意角的正弦函数和余弦函数 思考　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当α分别为，，时， (1)写出对应的点P1，P2，P3的坐标； (2)P1，P2，P3的坐标与角，，的正、余弦的值有什么关系． 提示：(1)P1(，)，P2(，)，P3(，). (2)每个角的正弦值都等于角的终边与单位圆交点的纵坐标，每个角的余弦值都等于角的终边与单位圆交点的横坐标． [知识梳理] 1．对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v＝sin__α；把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，记作u＝cos__α． 2．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数． [例1] (对接教材例2)在单位圆中，已知α＝－π. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求出角α的正弦函数值和余弦函数值． 【解】　(1)因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点O为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针 旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)因为α＝－π，所以点P在第四象限． 过点P作PM⊥x轴于点M，由(1)知，∠MOP＝－，则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，所以点P的坐标为. (3)根据正弦、余弦函数的定义，得sin ＝－，cos ＝. 单位圆法求三角函数的步骤 (1)先求出角的终边与单位圆交点的坐标； (2)再利用任意角的三角函数的定义求解． [跟踪训练1] (1)在平面直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆的交点的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为sin α＝－，cos α＝，所以角α的终边与单位圆的交点的坐标为.故选A. (2)已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin α＝________． 解析：由题意得，＋y2＝1，所以y＝±，所以sin α＝y＝±. 答案：± 二　已知角的终边上一点求正弦函数值、余弦函数值 [知识梳理] 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 sin α＝，cos α＝．其中r＝ . [例2] (对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 【解析】　根据题意，r＝OP＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，所以cos α＋sin α＋1＝＋(－)＋1＝.故选C. 【答案】　C 母题探究　将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin α，cos α的值． 解：当a>0时，sin α＝＝－， cos α＝＝； 当a<0时，sin α＝＝， cos α＝＝－. 综上所述，当a>0时，sin α＝－，cos α＝； 当a<0时，sin α＝，cos α＝－. 已知角的终边上一点求正弦函数值、余弦函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，求出三角函数值． [跟踪训练2] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(2，－2)，则cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.因为角θ的终边过点P(2，－2)，所以P到原点的距离r＝ ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝＝.故选A. (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则sin α＝__________． 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，所以r＝＝，由三角函数定义可得sin α＝＝＝，所以sin α＝. 答案： 三　三角函数概念的综合应用 [例3] (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 (2)若角α的终边在函数y＝－3x的图象上，则cos α＝________． 【解析】　(1)因为sin θ＝－<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值已舍去). (2)因为角α的终边在函数y＝－3x的图象上，所以角α的终边在第二象限或第四象限．当角α的终边在第二象限时，在角α的终边上取一点P(－1，3)，则点P到原点的距离r＝＝，所以cos α＝＝－；当角α的终边在第四象限时，在角α的终边上取一点P′(1，－3)，则点P′到原点的距离r′＝＝， 所以cos α＝＝. 综上，cos α＝或cos α＝－. 【答案】　(1)A　(2)或－ (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，这两类角的终边与单位圆的交点关于原点对称，求解时应注意分类处理． [跟踪训练3] (1)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(a，1－a)，且cos α＝，则实数α的值是(　　) A．4或 B． C．－4 D．－4或 解析：选A.因为P(a，1－a)，所以r＝OP＝，又角α的终边经过点P(a，1－a)，所以cos α＝＝，解得a＝4或a＝.经检验，a＝4或a＝均符合题意． (2)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点P，若α＝kπ－(k∈Z)，则符合条件的点P的坐标可以是________． 解析：由三角函数的定义可知，角α的终边与单位圆相交于点P. 当k为偶数时，角α与－的终边相同，则P的坐标满足当k为奇数时，角α与的终边相同，则P的坐标满足故符合条件的点P的坐标是(，－)和(－，). 答案：(，－)或(－，)(写出一个即可) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(教材P16T1改编)已知角α的终边经过点，则cos α的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．－ 解析：选D.由题知点在单位圆上，根据三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即cos α＝－.故选D. 2．已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或2 D．2或－2 解析：选D.因为点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝，所以sin α＝＝，解得m＝2或m＝－2.故选D. 3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________． 解析：因为sin 30°＝，cos 30°＝， 所以角α的终边过点P(1，－)， 所以r＝OP＝＝2， 所以sin α＝－. 答案：－ 4．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝________． 解析：在直线y＝2x上任取一点P(x，2x)(x≠0)，则r＝＝|x|. ①若x>0，则r＝x， 从而sin α＝＝，cos α＝＝， 所以sin α＋cos α＝. ②若x<0，则r＝－x， 从而sin α＝＝－， cos α＝＝－， 所以sin α＋cos α＝－. 综上，sin α＋cos α＝±. 答案：± 1．已学习：任意角的正弦函数和余弦函数、利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关． 学科网（北京）股份有限公司 $