第6章 §6 6.3 球的表面积和体积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　 1.某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像(如图)，其下半部分可看成直径约为2 m的球体，则雪人下半部分的体积约为(　　) A． m3 B． m3 C． m3 D． m3 解析：选A.因为球的直径约为2 m，所以球的体积约为×π×13＝. 2．已知三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：选C.设三个球的半径由小到大依次为r1，r2，r3，则r1∶r2∶r3＝1∶2∶3， 所以V3＝πr＝×27πr＝36πr，V1＋V2＝πr＋πr＝×9πr＝12πr，所以V3＝3(V1＋V2).故选C. 3.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4 m，底面直径和球的直径都是0.6 m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂胶200 g，则共需涂胶(π取3.14，结果精确到个位数)(　　) A．176 g B．207 g C．239 g D．270 g 解析：选B.由已知得圆锥的母线长l＝＝0.5(m)，所以台灯表面积为S＝πrl＋2πr2＝π×0.3×0.5＋2π×0.32＝0.33π(m2)，需要涂胶的质量为0.33π×200＝66π≈66×3.14＝207.24≈207(g)，故选B. 4．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为(　　) A．16π B．32π C．36π D．48π 解析：选C.设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有r2＝R2－1，则圆锥体积V＝×1×(R2－1)π＝，解得R＝3，故球的表面积为4πR2＝36π.故选C. 5．已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是(　　) A． B．8π C．16π D．32π 解析：选B. 设球的半径为R.如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在高PO1上，PO＝AO＝R，PO1＝＝，OO1＝－R，在Rt△AOO1中，R2＝()2＋(－R)2，解得R＝，所以所求外接球的表面积为4πR2＝8π. 6.(多选)某公司设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，如果不计包装盒的厚度，则(　　) A．R＝3r B．R＝4r C．V2＝9V1 D．2V2＝27V1 解析：选AD.由题图知R＝3r，故A正确，B错误；易知包装盒的高为2r，故V2＝πR2·2r＝18πr3，又V1＝πr3，所以2V2＝27V1，故C错误，D正确．故选AD. 7．若平面α截球O所得圆的半径为1，球的表面积是12π，则球心O到平面α的距离为______． 解析：设球的半径为R，则球的表面积为12π＝4πR2，所以R＝， 因为平面α截球O所得的圆半径为r＝1，所以球心O到平面α的距离d＝＝＝. 答案： 8．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________． 解析：如图 所示，CD是截面圆的直径．则·π＝π， 即CD＝2，设球O的半径为R， 因为AH∶HB＝1∶2， 所以AH＝×2R＝R， 所以OH＝R－R＝R， 由OD2＝OH2＋HD2，得R2＝R2＋1， 所以R2＝，于是S球＝4πR2＝π. 答案：π 9．将一个半径为()的球熔化后重新铸成一个侧面展开图为半圆的圆锥，则该圆锥的侧面积为__________． 解析：由题意，半径为()的球的体积V′＝π·＝3π，重新铸成的圆锥的体积V＝3π，设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，则l2＝h2＋r2，由侧面展开图为半圆，则πl＝2πr，即l＝2r，故4r2＝h2＋r2，h＝r，圆锥的体积V＝πr2·h＝3π，则πr3＝3π，解得r＝，即l＝2，圆锥的侧面积S＝πl2＝π×12＝6π. 答案：6π 10.(13分)如图，半球内有一内接正方体(即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上).若正方体的棱长为，求半球的表面积和体积． 解：因为正方体的棱长为， 则在半球上的正方体的4个顶点所在小圆半径r＝×＝， 而半球球心到此截面小圆距离d＝，因此半球半径R＝＝3， 所以半球的表面积S＝2πR2＋πR2＝27π， 体积V＝πR3＝18π. 11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为(　　) A．S＝d2 B．S＝d2 C．S＝d2 D．S＝d2 解析：选A.因为＝d，所以V＝＝，所以π＝，所以S＝4π＝4××＝d2，故选A. 12.如图，圆锥的底面恰好是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为36π，圆柱的高为2，则圆锥的体积为(　　) A．5π B．π C．16π D．π 解析：选D. 过球心O作截面，得圆柱、圆锥轴截面，如图，设球半径为R，则πR3＝36π，R＝3，又圆柱的高GE＝2， 则OG＝1， DG＝＝＝2，FG＝3－1＝2, 圆锥体积为V＝π·DG2·FG＝π×(2)2×2＝π.故选D. 13．如图，圆锥型容器内盛有水，水深3 dm，水面直径为2 dm，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________dm3. 解析：由题意得，圆锥型容器的轴截面为等边三角形．如图，设铁球的半径为r， 则放入铁球后水深为3r，上底面半径为r，此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r＝3πr3.原来水的体积为·π·()2·3＝3π，铁球的体积为πr3，则3π＋πr3＝3πr3，解得r3＝，所以铁球的体积V＝×＝. 答案： 14.(15分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2＋，在三角形内部挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于另一点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体． (1)求该几何体中空心球的表面积；(7分) (2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．(8分) 解： (1)连接OM，则OM⊥AB，设OM＝r，则OB＝2＋－r. 在Rt△BMO中，sin ∠ABC＝＝，解得r＝，所以空心球的表面积S＝4πr2＝8π. (2)由已知AC＝BC＝2＋， 设圆锥的体积为V1，球的体积为V2，阴影部分旋转一周所得旋转体的体积为V，所以V＝V1－V2＝π－π＝π. 15.(15分)如图，一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r. (1)试确定R与r的关系；(4分) (2)若小圆锥、大圆锥的侧面积分别为S1，S2，球的表面积为S3，求S1∶S2∶S3；(4分) (3)求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比．(7分) 解：(1)由几何体的特征，得到△ABC为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故∠ABC＝30°，所以AC＝R，BC＝R，所以r＝＝R. (2)球心到圆锥底面的距离OO1＝，所以小圆锥的高为R－＝，由(1)得小圆锥的母线长为R，大圆锥的母线长为R，所以S1＝πR2，S2＝πR2，S3＝4πR2，故S1∶S2∶S3＝∶3∶8. (3)由(1)得，两个圆锥的体积和为πr2·2R＝，球的体积为.故两个圆锥的总体积与球的体积之比为∶＝3∶8. 学科网（北京）股份有限公司 $