第6章 §6 6.2 柱、锥、台的体积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　　[学生用书P311(单独成册)] 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点S为棱A1B1上一动点，四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的(　　) A． B． C． D．不确定 解析：选A.令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，V四棱锥S­ABCD＝×a2×a＝a3，所以V四棱锥S­ABCD＝V正方体．故选A. 2．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　) A．6 B． C．3 D．2 解析：选B.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝，yz＝，xz＝，所以(xyz)2＝6.所以V长方体＝xyz＝.故选B. 3.某款厨房用具中的香料收纳罐的大致形状如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为32 cm，24 cm 的正四棱台，若棱台的高为3 cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为(　　) A． cm3 B．74 cm3 C．148 cm3 D．298 cm3 解析：选C.由题意可知，该正四棱台的上、下底面边长分别为8 cm，6cm，故该香料收纳罐的容积为×3×(82＋62＋8×6)＝148(cm3).故选C. 4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是(　　) A． B． C． D．2 解析：选C.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h.因为＝，所以＝，因为它们的侧面积相等，所以＝1，所以＝，所以＝＝×＝.故选C. 5．(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，AC为底面圆的一条直径，B为底面圆周上异于A，C的一点，则(　　) A．该圆锥的母线长为5 B．该圆锥的体积为12π C．该圆锥的表面积为15π D．三棱锥S­ABC体积的最大值为12 解析：选ABD.该圆锥的母线长为＝5，A正确； 该圆锥的体积为×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×(3＋5)＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×6×3＝9，三棱锥S­ABC体积的最大值为×9×4＝12，D正确．故选ABD. 6.(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ABC，F－ABC，E­ACF的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝2V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 解析： 选CD.设AB＝ED＝2FB＝2， 则V1＝×2×2＝，V2＝×2×1＝，如图所示，连接BD交AC于点M，连接EM，FM， 则FM＝，EM＝，EF＝3，所以FM2＋EM2＝EF2，则EM⊥FM，故S△EMF＝××＝，因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC，又因为AC⊥BD，ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面EDBF，所以AC⊥平面EDBF，即AC⊥平面EMF.所以V3＝S△EMF·AC＝××2＝2，所以V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD. 7．已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为________． 解析：设圆锥的底面半径为r，则πr2＝16π，解得r＝4，设圆锥的母线长为l，则4πl＝20π，解得l＝5，由勾股定理得圆锥的高h＝＝＝3，故圆锥的体积为V＝×16π×3＝16π. 答案：16π 8．(2025·吉安月考)如图，圆锥形容器的高为2，圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为h，则h＝________． 解析：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，所以水的体积V＝×2S－×S×(2－1)＝S，设倒置后液面的面积为S′，则＝，所以S′＝，所以水的体积为V＝S′h＝，所以＝S，解得h＝. 答案： 9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，除平面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M­EFGH的体积为________． 解析：连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形，又EG＝HF，EF＝FG，所以四边形EFGH为正方形．又四棱锥M­EFGH的高为，所以四棱锥M­EFGH的体积为××＝. 答案： 10．(13分)用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm，下底半径为16 cm，母线长为48 cm. 求：(1)矩形铁皮长边的最小值；(6分) (2)该铁桶的容积．(7分) 解：(1)如图， 设OA＝x cm，由相似三角形可得＝，解得x＝96. 又＝， 所以∠AOA′＝×360°＝60°， 所以△BOB′为正三角形，那么BB′＝OB＝144 cm， 即矩形铁皮长边的最小值为144 cm. (2)由图可知O1O2＝＝8(cm). 那么该铁桶的容积为V＝(242π＋162π＋)×8＝π(cm3). 11．已知正三棱柱ABC­A1B1C1与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱的侧面积与圆柱的侧面积的比值为(　　) A． B． C．1 D．2 解析：选D.设△ABC的边长为a，外接圆半径为r，AA1＝b，由正弦定理得＝2r，则r＝a，V三棱柱ABC­A1B1C1＝·a·a··b＝a2b.设圆柱的高为h，V圆柱＝a2πh＝a2b，所以b＝h.正三棱柱的侧面积S1＝3ab＝3a·h，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π·ah，则正三棱柱的侧面积与圆柱的侧面积的比值为＝2.故选D. 12．(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　) A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为 解析：选AB. 取△ABC的中心为O，连接PO， 由题意得，PO⊥平面ABC，又△ABC为等边三角形，则AO＝×＝，所以正三棱锥高为PO＝＝＝3，A正确；S△ABC＝×3×3×sin 60°＝，所以正三棱锥的体积为V正三棱锥P­ABC＝S△ABC·PO＝，C错误；作PD⊥AB交AB于点D，又PA＝PB＝2，AD＝AB＝，则正三棱锥的斜高为PD＝＝，B正确；正三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3××PD×AB＝3×××3＝，D错误．故选AB. 13．(13分)如图，在四棱锥P­ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD，O是AD的中点，∠DAB＝. (1)求证：OB⊥平面PAD；(6分) (2)求点O到平面PAB的距离．(7分) 解：(1)证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，∠DAB＝，所以△ABD为等边三角形，又O是AD的中点，所以OB⊥AD，因为平面 PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面 ABCD＝AD，OB⊂平面ABCD，所以OB⊥平面PAD. (2)设点O到平面PAB的距离为h，易知OP＝OB＝， 在△PAB中，PA＝AB＝2，PB＝， 所以S△PAB＝×× ＝， 由V三棱锥O­PAB＝V三棱锥B­AOP，得×h＝×××1×，解得h＝， 即点O到平面PAB的距离为. 14．(15分)如图是一个正四棱台ABCD­A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm，高30 cm. (1)求正四棱台ABCD­A1B1C1D1的表面积和体积；(7分) (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少立方厘米的水泥．(8分) 解：(1)由题意可知，正四棱台ABCD­A1B1C1D1的体积V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝(202＋402＋)×30＝28 000(cm3)， 分别取上、下底面的中心O1，O，B1C1，BC中点M，N，连接OO1，O1M，ON，MN，作MH⊥ON于点H， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则O1O＝MH＝30 cm，O1M＝10 cm，ON＝20 cm，HN＝10 cm， 可得MN＝＝＝10(cm)，　 所以正四棱台ABCD­A1B1C1D1的表面积 S＝202＋402＋4×××10＝. (2) 延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P， 可知＝＝， 则＝＝， 可得V正四棱锥P­A1B1C1D1＝V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝4 000 (cm3)，所以该同学至少需要准备4 000 cm3的水泥． 15．如图，PA是圆柱OO1的一条母线，AB是底面圆的一条直径，C是底面圆周上一点，三棱锥P­ABC的体积与圆柱OO1的体积之比为1∶3π，则tan ∠CAB＝________． 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，∠CAB＝θ，由题意知∠ACB＝90°， 可得S△ABC＝AB·AC·sin ∠CAB＝·2r·2r cos θ·sin θ＝r2sin 2θ，V三棱锥P­ABC＝·S△ABC·h＝r2sin 2θ·h，V圆柱＝πr2h， 因为＝，所以＝， 所以sin 2θ＝1，又0°<θ<90°，所以θ＝45°， 所以tan θ＝1，即tan ∠CAB＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $