第6章 6.3 球的表面积和体积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.3球的表面积和体积 白题 基础过关 限时：25min 题组1球的表面积和体积 5.*(2025·江西宜春高一期中)如图，在梯 1.·(2025·四川遂宁高一期中)一个球的表 面积是16π，则它的体积是 ( 形ABCD中，AB∥DC,BC上MB,∠A=牙 A.64m B. 64π C.32m D. 32T AB=2CD=4,E为线段AB的中点，先将梯形 3 3 挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面 2.★*（多选）(2025·安徽淮南高一月考)某球 图形以线段BE的垂直平分线为旋转轴旋转 形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可 一周，则所得几何体的体积为 () 装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球 形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克 力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆 柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为 22T R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的 A.8T B. 3 C.7π D.6T 体积为V,包装盒的体积为V2,则 6.*(2024·江西上饶高一月考) 如图，“蘑菇”形状的几何体是由 半个球体和一个圆柱体组成，球的 半径为2，圆柱的底面半径为1，高 为4，则该几何体的表面积为 A.R=3r B.R=4r 重难聚焦 C.V2=9V1 D.2V2=27V1 3.*(2025·湖南邵阳高一月考)若三个球的 题组3球的切、接问题 体积之比为2：1：3，则这三个球的表面积之 7.*(2025·福建福州高一期 比为 中)一个体积为43π的球在 题组2简单组合体的表面积和体积 一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱 4.*(2025·辽宁沈阳高一月考)如图所示的 柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面 几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方 积为 ( 体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩 A.54√3 B.54 C.273 D.27 余部分，则该几何体的表面积为 ( 8.*★(2025·浙江杭州高一月 考)已知一个圆锥的侧面展开图 是一个圆心角为 为5"，半径为5的扇形若该 圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上， A.24-3m B.24-π 则球0的体积为 C.24+T D.24+5π 必修第二册·BS黑白题140 §6阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*(2025·河南开封高一期末)以边长为25.**(2025·江西抚州高一期末)已知圆锥的 的菱形ABCD的一边AB所在直线为轴，其他 三边旋转一周形成的面围成一个几何体已知 顶点为S,母线SM,SB所成角的余弦值为 8 该几何体的体积为2π，则该几何体的表面积为 且该圆锥的母线是底面半径的√2倍，若△SAB ( 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为() A.2m B.4m A.40m B.(40+40√2)T C.8T D.16m C.40√2m D.(40+80W2)T 2.(2025·山东青岛高一期中)将一个半径 6.**（多选)(2025·福建宁德高一月考)“端 为2cm的金属球熔化后，先浇俦成6个半径 午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入 为1cm的小球，再把剩余材料俦成1个正方 世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午 体，则该正方体的棱长大约为 ( 节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同. A.1.5 cm B.2 cm 粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角 C.2.5 cm D.3 cm 3 3.*(2025·河北邢台高一期中)一口古井的 粽，也可做成底面半径为2cm,高为6cm(不 形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其 含外壳)的圆柱状竹筒粽现有两碗馅料，若 水面面积大约为4m,水深3m,丰水时节水 一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体 面面积大约为9m2,水深5m,则枯水时节的 积，则（参考数据：√2π≈4.44） () 水量大约为 ( A.这两碗馅料最多可包三角粽35个 A.7 B. 21 B.这两碗馅料最多可包三角粽36个 4 m 4m3 C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个 D.7m3 7.*(2025·安徽阜阳高一月考)如图，平 4.*(2025·山东潍坊高一月考)如图所示， 面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形， △A'B'C'表示水平放置的△ABC用斜二测画 且BE=1,BC=2,△ABC的面积为3，若点P 法得到的直观图，A'B'在x'轴上，BC'与x'轴 为线段DE上一点，则三棱锥P-ACE的最大 垂直，且B'C'=3,则△ABC的边AB上的 体积为 高为 OA B' 4.3 B.1 C.3 D A.3 B.3√2 C.6 D.6√2 第六章黑白题1413(em),下底面半径为56m,高为56m,所以溶液的体积V=子（32+ 52+3x5)xmx5-245m(cm3). 3 ,解析：由题意知几何体A1ED-ABC为三棱台，设三棱柱 A1B,C1-ABC的高为h,三角形ABC的面积为S,由于D,E分别 是A1C1,4B1的中点，则DE∥B1C1,即△A1ED∽△ABC,则三角 形ABD的面积为氵，所以V我队Ax=品，袋4 7 号(s+5xg+)h=7 1 44h=2%, V三楼台4，D-4c120 Y三楼能4G4ch2,所 6.3球的表面积和体积 白题基础过关 1.D解析：一个球的表面积是16π，设球的半径为R,球的表面积公式 为S=4πR2,代入可得16m=4πR2,解得R=2,所以球的体积为V= 4 2.AD解析：由题图知R=3,故A正确，B错误；易知包装盒的高 4 为2r,故V2=πR2x2r=18mr3,又V1=33,所以2V2=27V1,故C错 误，D正确 3.4:1:阿解析：设三个球的体积为V1,V2,V3,半径分别为R1,R2, R,表面积分别为S1,S2,S3, 由题意，得V1:V2:V3 4mR,4mR:4mR=R:R:R=-2:1: 333 3,獬得R1:R2:R3=2:1:3,所以S1:S2:S3=4πR:4mR3: 4πR3=R脱：R3:R-年：1：. 4.B解析：由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方 体某个顶点为球心，2为半径的g球后的剩余部分，其表面积等于正 方体表面积减去三个半径为2的号圆，再加上2为半径的g球面， 1 则S=6x2-3×4×m×2+g×4xmx2=24-元 5.A解析：连接DB,由题意知BC=DE=(AB-DC)1m牙-2 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面 半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1，V台=3(9m+m+ vxm)x2=,w=7× =1x4×1=2π，故该几何体的体积 3 26m2m=8不. 为V圆台-V半球=33 6.20π解析：依题意得，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧 面积的和，所以所求表面积为S=2m×22+T×22+2m×1×4=20π.故答 案为20π. 重难聚焦 7.A解析：设球的半径为R,因为号πR=43m,所以R=5。 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱的高为23， 设正三棱柱底面边长为a, 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，所以3=1×5。 3x2, 、所以a=6,则正三棱柱的表面积为3×6×2,3+2×)x6x6×3。 2 54w5. 8.125m 解析：设该圆锥的底面半径为r,高为h. 48 参考答案 由扇形圆心角为25爪，半径为5，得圆锥底面圆周长为2mr=25π 5 √5，解得r=1. 因为扇形半径为√5，所以2+h2=5,所以h=2. 易知球心O在圆锥的高所在的直线上。 设球0的半径为R,则r2+(h-R)2=R2,即12+(2-R)2=R2,解得R= 手，所以球0的体积为 5）3125m π×4=48 §6阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：作出示意图如图所示，该几何体下部分为圆锥，上部分为在 圆柱内挖去一个与下部分相同的圆锥，设点D到AB的距离为d,由 题意可得m×2=2m,解得d=1,所以该几何体的表面积为乞× 2m×2×2+2m×2=8m. B 2B解析：设正方体的棱长为am,则。+6x号×1= 4 3T×2,解 8r-2 得a= 3.B解析：作正四棱台的中截面，如图所示，AB,DC,FE分别为丰水、 枯水、井底的水面边长，则AB=3,CD=2,GH=2,IH=3. 因为瓷是瓷后所以11，F号所以陆水时节的水量为 3(EF+DC2+EFXDC)x3- 21 4 m3. y 4 B DNB (第3题) (第4题) 4.D解析：如图，作线段CD/轴，交x轴于点D,则CD=B'C sin45。 3 =3√2，所以边AB上的高为2CD=6√2 ② 2 5.C解析：母线SA,SB所成角的正弦值为 设 锥的母线长为L则P, =5√15，解得l=45 8 故底面半径，=45=2√0，故该圆锥的侧面积为d=2D× √2 45π=40W2π. 1 4 6.AC解析：两碗馅料的体积为2× 2×3mx63=288m(cm3), 如图，在正四面体D-ABC中，CM为AB边上的中线，O为三角形ABC 的中心，则0D即为正四面体的高，CM=6× 2=33(cm),0c= 3CM=25cm,0D=√36-12=26(cm）, 所以正四面体的体积为了×号x6×35×26=182(cm),即 黑白题087