第6章 §6 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　[学生用书P309(单独成册)] 1．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 解析：选C. 圆台的轴截面如图，设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，所以l＝4.故选C. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2. S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， ＝＝.故选A. 3．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的侧面积为(　　) A.π B．2π C．6π D．12π 解析：选D.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，则由l·＝2πr，所以l＝6r.圆锥的表面积是14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2，所以侧面积S侧＝6πr2＝12π.故选D. 4．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P­EFGH，下半部分是长方体ABCD­EFGH.正四棱锥P­EFGH的高为，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为(　　) A．20 B．4＋12 C．16 D．4＋8 解析：选A.由题意，正四棱锥P­EFGH的斜高为 ＝2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4××2×2＝20. 5．(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 B．正四棱锥的底面边长为3 C．正四棱锥的侧面积为24 D．正四棱锥的侧面积为12 解析：选AC.如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB， 易得侧面与底面所成的锐二面角的平面角为∠SHO.设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°， 所以OH＝a，OS＝a，SH＝a， 在Rt△SAH中，a2＋＝21，所以a＝3，底面边长为6，故A正确，B错误； 所以侧面积为S＝×6×2×4＝24，故C正确，D错误．故选AC. 6．(多选)(2025·萍乡月考)已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．轴截面为等腰梯形 解析：选ABD.圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图扇环的圆心角是180°，即π，所以l＝＝20，A正确； 表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，B正确； 高h＝＝10，C错误．故选ABD. 7.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________． 解析：由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积，同时减去圆柱的两个底面的面积，即S＝6×42＋4×2π×1－2π×12＝96＋6π. 答案：96＋6π 8.我国有一种容器叫作方斗，方斗的形状是一个上大下小的正四棱台(如图)，如果一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为________平方分米．(容器厚度忽略不计) 解析： 方斗大致图形如图所示，设点O，O1分别为上、下两底面的中心，M，N分别为AD，A1D1的中点，则MN为等腰梯形A1D1DA的高．根据题意可知MO＝3分米，NO1＝2分米，OO1＝3分米，则MN＝＝分米，所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为分米．所以此方斗外表面的侧面积为4×＝20(平方分米). 答案：20 9．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______cm，表面积为______cm2. 解析： 设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2(cm2).又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl(cm2). 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，所以πl2＝2.5×8πl，所以l＝20 (cm). 圆锥的表面积S表＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2). 答案：20　224π 10．(13分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(6分) (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．(7分) 解：(1)设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，所以大棱锥的侧面积为6××2a·2h＝12ah，小棱锥的侧面积为6×ah＝3ah， 棱台的侧面积为12ah－3ah＝9ah， 所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为12ah∶3ah∶9ah＝4∶1∶3. (2)因为小棱锥的底面边长为4 cm，所以大棱锥的底面边长为8 cm，因为大棱锥的侧棱长为12 cm，所以大棱锥的斜高为＝8(cm)，所以大棱锥的侧面积为6××8×8＝192(cm2)，所以棱台的侧面积为192×＝144(cm2)，棱台的上、下底面的面积和为6××42＋6××82＝24＋96＝120(cm2)，所以棱台的表面积为cm2. 11．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1∶3∶，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为(　　) A．16 B．10 C． D．30 解析：选A.设上底面边长为x，则下底面边长为3x，高为x，上底面正方形对角线长为x，下底面正方形对角线长为3x，又侧棱长为，所以()2＝(x)2＋，解得x＝1，所以侧面等腰梯形的高为＝2，所以该棱台的侧面积为4××(1＋3)×2＝16.故选A. 12．已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为(　　) A．8π B．16π C．8π D．4π 解析：选C. 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则r>2， 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，得2l＝rh，即 h＝. 又l2＝r2＋h2，所以l2＝r2＋，解得l2＝＝.由r>2，得－＝－＋≤，当＝，即r＝2时，l取得最小值4，则圆锥的侧面积为2×4π＝8π，故选C. 13.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，∠A1AB＝∠A1AC＝45°，则该斜三棱柱的侧面积是________． 解析： 过点B作BM⊥AA1于点M，连接MC，如图所示． 因为∠CAM＝∠BAM＝45°，CA＝BA，AM＝AM，所以△CAM≌△BAM，　 所以MC＝MB＝，∠CMA＝∠BMA＝90°，即CM⊥AA1.又因为CM∩BM＝M，CM，BM⊂平面BCM，所以AA1⊥平面BCM.又因为BC⊂平面BCM，所以AA1⊥BC.又因为AA1∥CC1，所以CC1⊥BC，所以平行四边形BCC1B1为矩形，所以该斜三棱柱的侧面积为2××2＋1×2＝2＋2. 答案：2＋2 14.(15分)如图，一个圆锥的底面半径为1，高为2，其中内接一个高为x的正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱). (1)若正四棱柱底面边长为y，请写出y关于x的函数关系式；(7分) (2)求这个正四棱柱表面积的最大值．(8分) 解： (1)画圆锥的轴截面，SF是圆锥的高，EF＝x，如图所示，因为正四棱柱底面边长为y，则＝，整理得y＝－(0＜x＜2). (2)正四棱柱的表面积S＝4xy＋2y2＝4x＋2＝－x2＋2x＋4＝－＋，所以当x＝时，表面积S取得最大值，最大值为. 15．(15分)如图，一个几何体由一个长方体ABCD－A1B1C1D1与一个半圆柱组成，且C1D1，CD分别为圆柱上、下底面的直径，AD＝2，AA1＝1，设DC＝m.试求：(以下结果用m表示) (1)该几何体的表面积；(7分) (2)从点D1沿几何体表面到点C的最短距离f(m).(8分) 解：(1)几何体的表面积S＝(2m＋1×2)×2＋m＋π×＋π××1＝＋m＋4. (2)当路径经过长方体表面时，f(m)＝m＋1； 当路径经过半圆柱表面时， f(m)＝ ； 取 ＞m＋1，即m＞； 取 ≤m＋1，即m≤. 所以当m>时， f(m)＝m＋1， 当m≤时，f(m)＝， 即f(m)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $