6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 [课时跟踪检测] 1.圆锥的表面积为12π,母线长为4,则该圆锥的底面半径为 (　　) A.2 B.3 C.1 D. 解析:选A　设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的表面积为12π,母线长为4,所以S表=πr2+πrl=12π,即 r2+4r-12=0,解得r=2或 r=-6(舍去). 2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小的底面半径为 (　　) A.7 B.6 C.5 D.3 解析:选A　设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7. 3.位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨),使用现代科技雾化“造云”,打造温室客厅,如图,这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式,表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆,其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2 m,高为9 m,则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为(参考数据:≈13.16) (　　) A.2 B.1.71 C.1.37 D.1 解析:选C　如图,设H为底面正方形ABCD的中心,G为BC的中点,连接PH,HG,PG, 则PH⊥HG,PG⊥BC, 所以PG===≈13.16, 则==≈≈1.37.故选C. 4.已知长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选D　设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的表面积S=S侧+2S底=2(a+b)·c+2ab=11,即ab+bc+ca=　①. 又十二条棱长度之和为4(a+b+c)=24,即a+b+c=6　②, 由②2-2×①,得a2+b2+c2=36-11=25.所以长方体的一条体对角线长为=5. 5.如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则该圆锥的表面积为 (　　) A.36π B.27π C.18π D.9π 解析:选A　设圆锥的母线长为l,以S为圆心,母线l为半径的圆的面积为S圆=πl2, 又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=3πl, 因为圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了3周,所以πl2=3×3πl,解得l=9. 所以圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=3×π×9+π×32=36π.故选A. 6.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为 (　　) A. B.2 C. D. 解析:选B　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为的正四棱锥的侧面积之和,如图,正四棱锥的侧棱长l==1,故以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为8××1×1×sin 60°=2.故选B. 7.在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,E,F分别是棱BC,A1C1的中点,若异面直线AA1与EF的夹角是45°,则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　如图,取AC中点D,连接FD,DE, 又在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,E,F分别是棱BC,A1C1的中点, 则DF∥AA1,且DF⊥平面ABC. 又直线AA1与EF的夹角是45°, 则直线DF与EF的夹角是45°, 故Rt△DEF为等腰直角三角形. 不妨设DE=DF=x,则AB=2x, 则S侧=(AB+BC+AC)×AA1=6x·x=6x2, S底=2××2x×2x×=2x2, 故====.故选D. 8.柷(zhù),是一种古代打击乐器,迄今已有四千多年的历史,柷的上方形状犹如四方形木斗,上宽下窄,下方有一底座,用椎(木棒)撞击其内壁发声,表示乐曲将开始.如图,某柷(含底座)高60 cm,上口正方形边长70 cm,下口正方形边长54 cm,底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4 cm,高为16 cm的正四棱柱,则该柷(含底座)的侧面积约为(≈2.236) (　　) A.12 960 cm2 B.14 803 cm2 C.16 800 cm2 D.18 240 cm2 解析:选B　如图,在正四棱台中,连接AC,A1C1,过点A,C分别作AE⊥A1C1,CF⊥A1C1,交A1C1于点E,F, 依题意AB=54 cm,A1B1=70 cm,AE=CF=60-16=44 cm, 则A1E==8cm, 所以AA1== cm. 所以正四棱台的斜高为=20 cm. 所以正四棱台的侧面积S1=4××20=4 960≈11 090.56 cm2. 又正四棱柱的侧面积S2=4×(54+4)×16=3 712 cm2, 所以该柷(含底座)的侧面积约为11 090.56+3 712=14 802.56≈14 803 cm2.故选B. 9.[多选]已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若θ=30°,侧棱长为,则 (　　) A.正四棱锥的底面边长为6 B.正四棱锥的底面边长为3 C.正四棱锥的侧面积为24 D.正四棱锥的侧面积为12 解析:选AC　如图,在正四棱锥S⁃ABCD中,O为正方形ABCD的中心,SH⊥AB,设底面边长为2a(a>0),因为∠SHO=30°,所以OH=a,OS=a,SH=a.在Rt△SAH中,a2+=21,所以a=3,底面边长为6,侧面积为S=×6×2×4=24.故选AC. 10.(5分)将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度,则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为_________. 解析:由已知可得该几何体为底面半径为1,高为1的圆柱的,如图,所以该几何体的表面积S=2+2××π×12+×2π×1×1=2+. 答案:2+ 11.(5分)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁玩具种类比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为_________. 解析:由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该几何体的表面积为S=6×+8××2×=8(6+6+). 答案:8(6+6+) 12.(5分)如图,将一个圆柱2n(n∈N+)等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,n越大,重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积为_________. 解析:显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积, 设圆柱的底面半径为r,高为h,则2rh=10, 所以圆柱的侧面积为2πrh=10π. 答案:10π 13.(15分)某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD⁃A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD⁃A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,求所需加工处理费. 解:因为四棱柱ABCD⁃A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形, 所以该零部件上部的表面积S1=+4=A2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2). 又四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形, 设等腰梯形ABB1A1的高为h, 所以该零部件下部的表面积S2=+4=A1+4××(AB+A1B1)×h=202+4××(10+20)×=1 120(cm2). 于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2), 又0.2S=0.2×2 420=484(元), 故所需加工处理费为484元. 14.(15分)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,现有一个羡除如图所示,已知上底面ABCD是高为2的等腰梯形,右侧面BCEF是高为1的等腰梯形,下底面是梯形,前、后侧面均为三角形.AD=8,BC=10,EF=6,AD∥BC∥EF,且平面ABCD⊥平面BCEF,求该“羡除”的表面积. 解:S梯形ABCD=×(8+10)×2=18, S梯形BCEF=×(10+6)×1=8. 在等腰梯形ABCD中, ∵AD=8,BC=10, 梯形的高为2,∴AB= =. 同理可得,BF= =. 过F作FM⊥BC于M,过M作MN⊥AD于N,连接FN(图略), 则有FM=1,MN=2,BM=2,AN=1. ∵BC⊥FM,BC⊥MN,FM∩MN=M, ∴BC⊥平面FMN.∴BC⊥FN. 又BC∥AD,∴AD⊥FN. ∵平面ABCD⊥平面BCEF,∴∠NMF=90°. ∴FN=,AF=. ∴S梯形ADEF=×(8+6)×=7. 在等腰△ABF中,点B到AF的距离为 =,∴S△ABF=××=. 由对称性可知S△DCE=S△ABF=. ∴该“羡除”的表面积为18+8+7++=26+7+. 学科网（北京）股份有限公司 $