第6章 §5 5.2 平面与平面垂直 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

[学生用书P305(单独成册)] 1．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　) A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 解析：选C. 因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.故选C. 2.如图，P是二面角α­l­β的交线l上一定点，PA⊂α，PB⊂β，且PA⊥l，PB⊥l，∠BPA＝，若点C是半平面α上任意一点，则∠BPC的范围为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.当PC与l重合时，∠BPC＝，当PC与PA重合时，∠BPC＝.故∠BPC的范围为.故选D. 3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则“α⊥β”的充分条件是(　　) A．l⊥m，α∩β＝m，l⊂α B．l⊥β，m∥α，l⊥m C．l⊥β，m∥α，l∥m D．l∥β，m∥α，l∥m 解析：选C.对于A，若l⊥m，α∩β＝m，l⊂α，则平面α与平面β可能相交且不垂直，故A错误； 对于B，若l⊥β，m∥α，l⊥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故B错误； 对于C，因为l⊥β，l∥m，由线面垂直的性质，所以m⊥β，又因为m∥α，所以α⊥β，故C正确； 对于D，若l∥β，m∥α，l∥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故D错误． 4．(2025·阜阳期末)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰(非等边)三角形 解析：选A.设正方形边长为1，AC与BD相交于点O，则AC⊥BD，所以折成直二面角后，如图2，易知∠COA＝90°，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是正三角形． 5．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．AC∥平面A1BC1 B．AD⊥平面A1BC1 C．A1C1⊥AD1 D．平面A1BC1⊥平面BB1D1D 解析：选AD.对于A，因为AC∥A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1， 所以AC∥平面A1BC1； 对于B，∠DAC＝45°，AD与AC不垂直，则AD与A1C1不垂直，AD⊥平面A1BC1不正确； 对于C，连接CD1，AC＝AD1＝CD1，则△ACD1为等边三角形，则AD1与AC不垂直，则AD1与A1C1也不垂直； 对于D，BB1⊥平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，又B1D1⊥A1C1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D.故选AD. 6.(多选)(2025·景德镇期末)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是(　　) A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 解析：选BD.连接AC，BD，BM，MD. 因为在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点， 所以BD⊥PA，BD⊥AC，因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.所以当MD⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD. 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________． 解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2. 答案：∶2 8．已知二面角α-l-β的平面角是120°，在平面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M是棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值是________． 解析：将二面角α－l－β平摊开来，如图所示， 当A，M，C在一条直线上时AM＋CM有最小值，最小值为对角线AC， 因为AE＝2＋3＝5，CE＝BD＝1， 所以AC＝＝. 答案： 9.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为________． 解析：因为CA＝CB，O为AB的中点， 所以CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，且交线为AB，CO⊂平面ABC，所以CO⊥平面ABD. 因为OD⊂平面ABD， 所以CO⊥OD，所以△COD为直角三角形． 所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD，共6个． 答案：6 10. (13分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C′，且点C′在平面ABD上的投影O恰好落在AB上． (1)求证：平面DBC′⊥平面ADC′；(6分) (2)求二面角C′－AD－B的余弦值．(7分) 解：(1)证明：点C′在平面ABD上的投影O恰好落在AB上， 即BO为BC′在平面ABD上的投影，而BO⊥AD，所以BC′⊥AD， 因为BC′⊥C′D，C′D∩AD＝D，C′D，AD⊂平面ADC′， 所以BC′⊥平面ADC′，又BC′⊂平面DBC′， 所以平面DBC′⊥平面ADC′. (2)由(1)知BC′⊥平面ADC′，又AC′⊂平面ADC′，所以BC′⊥AC′，在Rt△AC′B中，有AC′＝3，则有AC′2＋AD2＝C′D2， 所以C′A⊥AD，又AB⊥AD，C′A∩AB＝A， 所以二面角C′－AD－B的平面角是∠C′AB， 所以cos ∠C′AB＝＝， 所以二面角C′－AD－B的余弦值是. 11.如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　) A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 解析：选B. 连接AC1，因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1，因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．故选B. 12.(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则(　　) A．平面PED⊥平面EBCD B．PC⊥ED C．二面角P­DC­B的大小为 D．PC与平面PED的夹角的正切值为 解析：选AC.PD＝AD＝＝＝2，在△PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，易知CD⊥DE，又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面PED，所以CD⊥平面PED，又CD⊂平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，故A正确；若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝，显然矛盾，故B错误； 二面角P­DC­B的平面角为∠PDE，易知∠PDE＝∠ADE＝，故C正确； 由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED的夹角，在Rt△PCD中，tan ∠CPD＝＝，故D错误．故选AC. 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC，则点M的轨迹的长度为________． 解析：因为DM⊂平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可． 又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆(不包含D，C).又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π. 答案：π 14．(15分)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(7分) (2)求图2中的四边形ACGD的面积．(8分) 解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE， 所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)取CG的中点M，连接EM，DM. 因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE， 又CG，EM⊂平面BCGE，故DE⊥CG，DE⊥EM. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，又DE∩EM＝E，DE，EM⊂平面DEM，故CG⊥平面DEM. 又DM⊂平面DEM，因此DM⊥CG. 在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，故DM＝2.又CG＝BF＝2， 所以四边形ACGD的面积为S＝2×2＝4. 15.(15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B). (1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；(7分) (2)线段BC上是否存在点F，使二面角B­AE­F的平面角的大小为45°？(8分) 解：(1)垂直．证明如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE. 因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC. 因为AE⊂平面AEF， 所以平面AEF⊥平面PBC. (2)存在．由(1)可知，AE⊥平面PBC，所以二面角B­AE­F的平面角为∠BEF. 若∠BEF＝45°，由(1)可知BC⊥平面PAB，又BE⊂平面PAB，所以BC⊥BE， 则BF＝BE＝AB＝BC<BC， 故线段BC上存在点F，使二面角B­AE­F的平面角的大小为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $