第6章 §4 4.2 平面与平面平行 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作(　　) A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个 解析：选C.连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线的平行平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平行平面有0个． 2．设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是(　　) A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m⊂α，α∥β，则m∥β D．若m⊂α，m∥β，则α∥β 解析：选C.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，A不正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，B不正确；若m⊂α，α∥β，可得m，β没有公共点，即m∥β，C正确；若m⊂α，m∥β，则α∥β或α，β相交，D不正确，故选C. 3．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 解析：选D.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 对于AA1＝BB1，此时AA1∥BB1； 对于A1D＝A1B，此时A1D∩A1B＝A1； 对于AD1＝A1B，此时AD1与A1B是异面直线． 4.(2025·吉安月考)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC分别于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 解析：选D.因为平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以A′B′∥AB， 同理可得A′C′∥AC，B′C′∥BC， 又PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5， 所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25. 5．(多选)在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点，下列说法正确的是(　　) A．平面AC1F∥平面B1CE B．直线FG∥平面B1CE C．直线CG与BF异面 D．直线C1F与平面CGE相交 解析：选AC.对于A，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点，所以B1E∥AF，又AF⊂平面AC1F，B1E⊄平面AC1F，所以B1E∥平面AC1F，同理可证CE∥平面AC1F，又B1E∩CE＝E，B1E，CE⊂平面B1CE，所以平面AC1F∥平面B1CE，所以A正确；对于B，因为F，G分别是线段A1B1，AA1的中点，所以FG∥AB1，AB1∩B1E＝B1，所以FG与B1E相交，所以直线FG与平面B1CE相交，所以B错误；对于C，CG与BF不同在任何一个平面内，所以CG与BF是异面直线，所以C正确；对于D，因为CE∥C1F，CE⊂平面CGE，C1F⊄平面CGE，所以直线C1F∥平面CGE，所以D错误．故选AC. 6.(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有(　　) A．BD1∥GH B．BD∥EF C．BD1∥平面EFGH D．平面EFGH∥平面A1BCD1 解析：选CD. 连接A1B，CD1.易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A错误；易知EF∥A1B，与A同理，可判断B错误；对于C，D，由于E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点， 得出EF∥A1B，EH∥A1D1，因为A1B⊂平面A1BCD1，EF⊄平面A1BCD1， 所以EF∥平面A1BCD1，同理可得EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，且EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面A1BCD1， 而BD1⊂平面A1BCD1，所以BD1∥平面EFGH，故C，D正确．故选CD. 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，写出满足条件的一个平面． (1)与平面ADD1A1平行的平面为______________________________； (2)与平面ABB1A1平行的平面为______________________； (3)与平面A1DC1平行的平面为________________________． 解析：因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，连接AB1，B1C，AC(图略)，则A1C1∥AC，DC1∥AB1，又因为AC，AB1⊄平面A1DC1，A1C1，DC1⊂平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1，因为AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以平面A1DC1∥平面AB1C.　 答案：(1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1 (3)平面AB1C 8．如图，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是______________． 解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB， 所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1， 又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形． 答案：平行四边形 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________． 解析：由平面MNE∥平面ACB1，及面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为AB，BC的中点，所以MN＝AC，即＝. 答案： 10.(13分)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC， 平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 11．在三棱台A1B1C1­ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　) A．△A1B1C1边界的一部分 B．一个点 C．线段的一部分 D．圆的一部分 解析：选C. 如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE，BD，因为BD∥AA1，BD⊄平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1， 所以BD∥平面A1ACC1，同理DE∥平面A1ACC1， 又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈线段DE(M不与D重合，否则没有平面BDM)，故选C. 12．(多选)(2025·郑州期末)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．平面PAD∥BC C．平面PCD∥AB D．平面PAD∥平面PAB 解析：选ABC. 如图所示，把平面展开图还原为四棱锥， 对于A，易知EF∥AB，因为EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD， 又EH∥AD，同理可证EH∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH， 所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确； 对于B, 因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以平面PAD∥BC，故B正确； 对于C，因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以平面PCD∥AB，故C正确； 对于D，由平面PAD∩平面PAB＝PA，故平面PAD与平面PAB不平行，故D不正确． 13．(15分)(2025·亳州月考)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： (1)B，C，H，G四点共面；(7分) (2)平面BCHG∥平面A1EF.(8分) 证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1， 又在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面． (2)因为在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB，又G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G∥EB，A1G＝A1B1＝AB＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥BG. 因为A1E⊂平面A1EF，BG⊄平面A1EF，所以BG∥平面A1EF. 又E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC， 因为EF⊂平面A1EF，BC⊄平面A1EF，所以BC∥平面A1EF. 又BG∩BC＝B，BG，BC⊂平面BCHG， 所以平面BCHG∥平面A1EF. 14．(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD；(7分) (2)过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．(8分) 解：(1)证明：如图，取PA的中点F，连接EF，DF，因为E为PB的中点，F为PA的中点，所以EF∥AB，EF＝AB，又AB∥CD，AB＝2CD， 所以EF∥CD，EF＝CD， 因此四边形CDFE为平行四边形， 所以CE∥DF，又DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD， 所以CE∥平面PAD. (2)存在，交点为PA的中点F和AB的中点H. 理由如下：取AB的中点H，连接FH，DH， 由(1)得CE∥DF，又DF⊂平面DFH，CE⊄平面DFH，所以CE∥平面DFH， 因为F为PA的中点，H为AB的中点， 所以FH∥PB，又FH⊂平面DFH，PB⊄平面DFH，所以PB∥平面DFH，又PB∩CE＝E，PB，CE⊂平面PBC，所以平面PBC∥平面DFH. 15.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，C1D1的中点，过点A1，M，N作正方体的截面α交CC1于点Q，则＝__________． 解析：由题意知平面A1MQN即为过点A1，M，N的正方体的截面α， 因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面ABB1A1∩α＝A1M，平面DCC1D1∩α＝NQ， 故A1M∥NQ，又NC1∥A1B1，且∠C1NQ，∠B1A1M的对应两边的射线方向一致， 故∠C1NQ＝∠B1A1M， 而∠NC1Q＝∠A1B1M＝90°， 故△NC1Q∽△A1B1M，故＝＝，而B1M＝BB1＝CC1， 故＝，则＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $