第2章 §4 4.2 平面向量及运算的坐标表示 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，2)，则b＝(　　) A．(－2，0) B．(4，4) C．(2，0) D．(5，6) 解析：选A．b＝a－(a－b)＝(1，2)－(3，2)＝(－2，0). 2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 解析：选C．由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).故选C． 3．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　) A．－13 B．9 C．－9 D．13 解析：选C．设C点坐标(6，y)，则＝(－8，8)，＝(3，y＋6).因为A，B，C三点共线，所以＝，解得y＝－9.故选C． 4．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　) A． B． C．(－1，) D． 解析：选D．因为＝，所以∠xOA＝30°，将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，所以∠xOB＝150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D． 5．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　) A．(－，－) B．(－，－) C．(，) D．(，) 解析：选A．方法一：在平行四边形OABC中，＝＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3，得解得所以E(－，－). 方法二：在平行四边形OABC中，＝＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1).＝3＝3(－)，化简得＝＝(－1，－1)＝.因为O为坐标原点，所以点E的坐标为. 6．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 解析：选AC．对于A，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，故A正确； 对于B，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，故B错误； 对于C，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1， 所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，故C正确； 对于D，由于B，C，D三点共线，所以∥， ＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)， ＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)， 则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1，故D错误．故选AC． 7．已知a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－3b＝________． 解析：2a－3b＝2(2，4)－3(－1，1)＝(4＋3，8－3)＝(7，5). 答案：(7，5) 8．已知向量a＝(2，3)，b＝(1，m)，且a＋2b与a－b平行，则m＝____________． 解析：因为a＝(2，3)，b＝(1，m)，所以a＋2b＝(4，3＋2m)，a－b＝(1，3－m)， 因为a＋2b与a－b平行，所以4×(3－m)＝2m＋3，解得m＝. 答案： 9．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则的值为________． 解析：以向量a和b的交点为原点，正方形网格的边长为一个单位长度，建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb得(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，有解得故＝4. 答案：4 10．(13分)已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(6分) (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.(7分) 解：(1)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，若a＝mb＋nc， 则解得 (2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 由(a＋kc)∥(2b－a)，得2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－. 11．已知点A(1，1)，B(2，4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是(　　) A．(2，2) B．(3，3) C．(1，3) D．(3，4) 解析：选C．因为点A(1，1)，B(2，4)，所以＝(1，3)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，所以＝＝(1，3).故选C． 12．若{α，β}是一组基，向量γ＝x α＋y β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基{α，β}下的坐标．现已知向量a在基{p，q}＝{(1，－1)，(2，1)}下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基{m，n}＝{(－1，1)，(1，2)}下的坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2) 解析：选D．因为向量a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)，所以a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4).设(x，y)为a在基{m，n}下的坐标，则a＝x m＋y n＝(－x＋y，x＋2y)，即(2，4)＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以a在基{m，n}下的坐标为(0，2).故选D． 13．(15分)(2025·南阳月考)已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)，λ∈R，若＝＋，试求λ为何值时， (1)点P在第一、三象限的角平分线上；(7分) (2)点P在第三象限内．(8分) 解：(1)设点P(x，y)，由已知可得＝(3，1)，又因为＝(5λ，7λ)，则＝＋＝(5λ＋3，7λ＋1)＝(x－2，y－3)，所以可得若点P在第一、三象限的角平分线上，则5λ＋5＝7λ＋4，解得λ＝. (2)因为点P在第三象限内，则所以λ<－1. 14．(15分)(2025·济源期中)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若＝e1－e2，＝2e1＋λe2，＝e1＋e2，且A，P，C三点共线． (1)求实数λ的值；(4分) (2)若e1＝(1，0)，e2＝(0，1). ①求；(5分) ②若D(－2，4)，A，B，C，D恰好为平行四边形ABCD的四个顶点，求点A的坐标．(6分) 解：(1)＝＋＝e1－e2＋2e1＋λe2＝3e1＋(λ－1)e2， 因为A，P，C三点共线，设＝t＝t(e1＋e2)＝te1＋te2，则解得 (2)①＝＋＝2e1＋4e2＋e1＋e2＝3e1＋5e2＝3(1，0)＋5(0，1)＝(3，5)，所以向量的坐标为(3，5). ②设点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C，D恰好为平行四边形ABCD的四个顶点， 则＝，＝(－2－x，4－y)，＝(3，5)，即解得所以点A的坐标为(－5，－1). 15．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在劣弧DG上，且∠PAG＝60°.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则6λ＋μ＝________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， A(0，0)，D(0，2)，B(4，0)，C(4，4)，因为E，F分别为BC，CD的中点，所以E(4，2)，F(2，3)， 因为以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在劣弧DG上，且∠PAG＝60°， 所以P(2cos 60°，2sin 60°)，即P(1，)， 由＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 得(1，)＝λ(4，2)＋μ(－2，3)， 所以所以6λ＋μ＝＋1. 答案：＋1 学科网（北京）股份有限公司 $