第5章 §3 复数的三角表示 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值为 (　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 解析：选B.z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1.故选B. 2．复数z＝sin －icos ，若zn＝ (n∈N)，则n的最小值是 (　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：选C.z＝sin －i cos ＝cos ＋isin，　 ＝cos ＋isin ＝＝cos ＋isin， 由于n∈N，所以n最小值为5.故选C. 3．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝ (　　) A．1＋i B．1－i C．＋i D．－i 解析：选A.因为|z|＝2，故r＝2，且arg z＝，所以z＝2(cos ＋isin )＝1＋i. 4．设π<θ<，则复数的辐角的主值为 (　　) A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π 解析：选B.＝＝cos 3θ＋isin 3θ. 因为π<θ<，所以3π<3θ<， 所以π<3θ－2π<.故选B. 5．(多选)已知单位向量，分别对应复数z1，z2，且·＝0，则可能为 (　　) A．i B．1 C．－1 D．－i 解析：选AD.因为单位向量，分别对应复数z1，z2，设复数z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，因为·＝0，所以⊥，即θ1－θ2＝±，所以＝＝cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)＝cos ＋isin＝±i.故选AD. 6．(多选)已知复数z＝－＋i(i为虚数单位)，则以下命题正确的是 (　　) A．z2＝ B．z·＝1 C．z2 025＝z D．z2 025＝1 解析：选ABD.因为z＝－＋i，所以z2＝－－i＝－－i＝，故A正确； z·＝＝＋＝1，故B正确； z＝－＋i＝cos ＋isin ，z2 025＝(z3)675＝＝1675＝1，故C错误，D正确．故选ABD. 7．将复数z＝5化为代数形式为__________________． 解析：z＝5＝＋i. 答案：z＝＋i 8．复数的三角形式为______________． 解析：＝＝－－i＝(－－i)＝(cos ＋isin ). 答案：(cos ＋isin ) 9．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角(0＜θ＜2π)所得的向量对应的复数为－2，则θ＝________． 解析：因为arg(1＋i)＝，arg(－2)＝π，|1＋i|＝2，所以将1＋i所对应的向量绕原点逆时针旋转θ＝，所得向量对应的复数为－2. 答案： 10．(13分)计算，并将最终结果化为代数形式： (1)3·2；(4分)　 (2)·；(4分) (3)(1－i)÷.(5分) 解：(1)3·2(cos －isin ) ＝6(cos ＋isin )· ＝6＝6. (2)· ＝·[cos ＋isin]＝cos ＋isin ＝i. (3)(1－i)÷＝[cos (－)＋isin(－)]÷(cos ＋isin )＝[cos (－－)＋isin]＝[(×－×)－i]＝－i. 11．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则arg z1＋arg z2＋arg z3＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选C.arg z1＋arg z2＋arg z3＝arg(z1z2z3)＋2kπ，k∈N.又z1z2z3＝(1－2i)·(1＋i)(－1＋3i)＝10i，所以arg(z1z2z3)＝.又＜arg z1＜2π，arg z2＝，＜arg z3＜π，所以arg z1＋arg z2＋arg z3∈，故arg z1＋arg z2＋arg z3＝. 故选C. 12．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O是原点)，已知Z1对应复数z1＝1＋i.则Z1和Z3表示的复数的乘积z1·z3＝________． 解析：由题可得|z3|＝|z1|＝2，复平面上线段OZ1与实轴正半轴的夹角为，则线段OZ3与实轴正半轴的夹角为，所以z3＝2＝－＋i，所以z1·z3＝(1＋i)(－＋i)＝－2－2i. 答案：－2－2i 13．(13分)把复数z1与z2在复平面内对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值． 解：由题意及复数乘法的几何意义得 z1＝z2. 因为z2＝－1－i＝2， 所以z1＝ ＝2 ＝2(cos ＋isin )＝－＋i，z1的辐角的主值为. 14．(15分)设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式． 解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z1·z＝2(cos ＋isin )×4(cos 2α＋isin 2α)＝8[cos (2α＋)＋isin (2α＋)]. 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z). 又α∈(0，π)，所以α＝， 所以z2＝2(cos ＋isin )＝－1＋i. 15．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π).观察(cos θ＋isin θ)2＝cos 2θ＋isin 2θ，(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ，(cos θ＋isin θ)4＝cos 4θ＋isin 4θ，…猜测：(cos θ＋isin θ)n＝__________(直接写出结果)；设复数z＝－i，利用该结论计算z10＝____________． 解析：由观察得(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ. z＝－i＝2＝2， 由结论得z10＝210 ＝210 ＝210 ＝210 ＝210＝210 ＝512＋512i. 答案：cos nθ＋isin nθ　512＋512i 学科网（北京）股份有限公司 $