第5章 §2 2.2 2.3 复数乘法几何意义初探 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．i(2＋3i)＝ (　　) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i 解析：选D.i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D. 2．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝ (　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选C.因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i. 3．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 (　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 解析：选A.由题意可知，＝＝为纯虚数，所以解得a＝－6.故选A. 4．在复平面内，设复数z＝－3＋2i对应的向量为，把绕原点O逆时针旋转所得到的向量对应的复数是 (　　) A．－3＋2i B．2－3i C．2＋3i D．－2－3i 解析：选D.把绕原点O逆时针旋转所得到的向量对应的复数是(－3＋2i)·i＝－2－3i.故选D. 5．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则 (　　) A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0 C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0 解析：选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0. 6．(多选)(2025·九江期末)若复数z＝，则 (　　) A．z的共轭复数＝ B．＝ C．复数z的实部与虚部相等 D．复数z在复平面内对应的点在第四象限 解析：选ABD. z＝＝＝＝＝－. 对于A，＝＋＝，故A正确； 对于B，＝＝，故B正确； 对于C，z＝－，实部为，虚部为－，故C错误； 对于D，z＝－在复平面对应点的坐标为在第四象限，故D正确． 7．(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________． 解析：(＋i)(－2i)＝()2－2i＋i－2i2＝7－i. 答案：7－i 8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝__________． 解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. 答案：－2i 9．已知复数z满足z(1＋i)＝2ti(t∈R)，若|z|＝2，则t的值为________． 解析：由z(1＋i)＝2ti(t∈R)，得z＝＝＝ti(1－i)＝t＋ti. 因为|z|＝2，所以t2＋t2＝(2)2，解得t＝2或t＝－2. 答案：2或－2 10．(13分)已知复数z＝. (1)求复数z；(6分) (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．(7分)　 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 11．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：选C.令z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得a2－b2＋2abi－4＋3＝0， 得 当b＝0时，|a|2－4|a|＋3＝0， 解得|a|＝1或|a|＝3，即a＝±1或a＝±3； 当a＝0时，|b|2＋4|b|－3＝0， 解得|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍去)， 即b＝±(－2). 综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.故选C. 12．复数z＝且||＝4，z在复平面内对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，则实数a＝________，b＝________． 解析：z＝＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝||＝4，得a2＋b2＝4.① 因为复数0，z，对应的点构成正三角形， 所以|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.② 又因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.③ 由①②③得故所求值为a＝－，b＝－1. 答案：－　－1 13．(13分)已知复数z满足z(1＋i)＝4i. (1)求；(6分) (2)若z是方程x2＋ax＋b＝0(a∈R，b∈R)的一个根，求a＋b的值．(7分) 解：(1)由z(1＋i)＝4i得z＝＝＝2i(1－i)＝2＋2i，则＝2－2i. (2)由(1)知＝2－2i， 所以 解得所以a＋b＝4. 14．(15分)(2025·驻马店期末)已知复数z＝m－i(m∈R)，且·(1＋3i)为纯虚数(是z的共轭复数). (1)设复数z1＝，求；(7分) (2)复数z2＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)因为z＝m－i(m∈R)，则＝m＋i， 所以·(1＋3i)＝(m＋i)(1＋3i)＝(m－3)＋(3m＋1)i为纯虚数， 所以解得m＝3. 所以z1＝＝＝＝＝－＋i， 因此＝＝. (2)因为i2 025＝i4×506+1＝i， 则z2＝＝＝＝＋i， 因为复数z2在复平面内对应的点位于第四象限，则解得－<a<3. 因此实数a的取值范围是. 15．(多选)代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何复系数一元n(n∈N*)次多项式方程f(x)＝0有n个复数根(重根按重数计).若f(x)＝(x－1)(x2＋x＋1)，记ω为方程f(x)＝0的一个虚数根，则 (　　) A．ω2＋ω＋1＝0 B．ω＝－＋i C．ω·＝1 D．ω2＝ 解析：选ACD.令f(x)＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，得x＝1或x2＋x＋1＝0，由x2＋x＋1＝0，得(x＋)2＝－，所以x＋＝±i，则x＝－±i，所以－±i是f(x)＝0的两个复数根．对于A，因为ω为方程f(x)＝0的一个虚数根，即ω满足x2＋x＋1＝0，所以ω2＋ω＋1＝0，故A正确；对于B，ω＝－±i，故B错误；对于C，因为－＋i与－－i互为共轭复数，所以ω·＝(－＋i)(－－i)＝1，故C正确；对于D，由ω2＋ω＋1＝0，得ω2＝－ω－1，若ω＝－＋i，则ω2＝－ω－1＝－－i＝；若ω＝－－i，则ω2＝－ω－1＝－＋i＝.综上，ω2＝，故D正确．故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $