第5章 §2 2.1 复数的加法与减法 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为 (　　) A．1 B．3 C．i D．3i 解析：选B.因为1＋z＝2＋3i，所以z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3.故选B. 2．设复数z1＝2－i，z2＝－3＋5i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为z1＋z2＝(2－i)＋(－3＋5i)＝－1＋4i，所以z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为(－1，4)，位于第二象限．故选B. 3．(2025·吉安月考)在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i对应的向量分别是，，其中O是原点，则向量对应的复数为 (　　) A．－9－i B．9－i C．3＋9i D．－3＋9i 解析：选A. 因为复数6＋5i与－3＋4i对应的向量分别是与，所以＝－＝－3＋4i－6－5i＝－9－i. 4．已知i为虚数单位，复数z＝－＋i的共轭复数为，则＋|z|＝ (　　) A．－＋i B．－i C．＋i D．－－i 解析：选B.复数z的共轭复数＝－－i，复数z的模为|z|＝＝1，则＋|z|＝－－i＋1＝－i.故选B. 5．(多选)|(3＋2i)－(1＋i)|可表示 (　　) A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离 B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离 C．点(2，1)到原点的距离 D．坐标为(－2，－1)的向量的模 解析：选ACD.由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|可表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确，B错误；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|，|2＋i|可表示复平面内点(2，1)到原点的距离，故C正确；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|(1＋i)－(3＋2i)|＝|－2－i|，|－2－i|可表示复平面内坐标为(－2，－1)的向量的模，故D正确．故选ACD. 6．(多选)(2025·上饶期末)若z－＝－14i，||＝5，则z可能为 (　　) A．1－7i B．1＋7i C．－1－7i D．－1＋7i 解析：选AC.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由题意可得 解得或 所以z＝1－7i或z＝－1－7i. 7．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________． 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)， |z|＝， 所以|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i， 所以解得 所以z＝－4＋3i. 答案：－4＋3i 8．若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，a∈R，复数z2－z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 解析：由题设z2－z1＝2＋ai－(1＋2i)＝1＋(a－2)i在复平面内所对应的点在第四象限，所以a－2＜0，即a＜2. 答案：(－∞，2) 9．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数：z＝__________． 解析：z＝a＋bi(a，b∈R)，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i. 答案：1＋i(答案不唯一) 10．(13分)已知复数z1＝a2＋(a－6)i，z2＝2a－3＋a2i，a∈R. (1)若z1＋z2是纯虚数，求a；(6分) (2)若z1＋z2>0，求.(7分) 解：(1)由题意得z1＋z2＝a2＋2a－3＋(a2＋a－6)i，因为z1＋z2是纯虚数， 所以解得a＝1. (2)因为z1＋z2>0，所以 解得a＝2. 故＝＝4. 11．在复平面内已知点A，B，C表示的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是 (　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 解析：选C.因为点A，B，C表示的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，所以对应的复数为2＋i－(－i)＝2＋2i.设点D表示的复数为x＋yi(x，y∈R)，所以对应的复数为x－1＋(y－3)i，又＝，所以x－1＋(y－3)i＝2＋2i，由复数相等的定义得解得所以点D表示的复数为3＋5i.故选C. 12．(多选)(2025·萍乡月考)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A表示的复数为z1＝1＋i，点B表示的复数为z2＝1＋2i，点C表示的复数为z3，则下列结论正确的是 (　　) A．z1－z2＝－i B．点C位于第二象限 C．z1＋z3＝z2 D．＝|| 解析：选ACD.对于A，z1－z2＝1＋i－1－2i＝－i，故A正确； 对于B，由题意得O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，因为四边形OABC为平行四边形，则＝＝(0，1)，所以C(0，1)，所以z3＝i，点C位于虚轴上，故B错误； 对于C，D，如图，z1，z2，z3对应的向量分别为，，，则＋＝，－＝，即z1＋z3＝z2，＝，故C，D正确． 13．(15分)已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求： (1)|z|的最大值和最小值；(7分) (2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．(8分)　 解：(1)设在复平面内复数z对应的点为Z，则满足|z＋＋i|≤1的点Z的集合是圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域(包括边界)，|z|表示点Z到原点O的距离． 如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值． 因为||＝ ＝2， 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. 即|z|的最大值为3，最小值为1. (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2， |z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2. 由(1)知1≤|z|≤3， 所以|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，最小值为2×12＋2＝4. 14．(15分)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t，使＝－3ati成立． (1)求证：2a＋b为定值；(7分) (2)若|z－2|≤a，求实数a的取值范围．(8分)　 解：(1)证明：因为＝－3ati＝＋(－3at)i，则a－bi＝＋(－3at)i， 由复数相等得 消去t得2a＋b＝6，故2a＋b为定值． (2)因为z－2＝a－2＋bi，且|z－2|≤a， 所以 又因为2a＋b＝6，即b＝6－2a， 则(a－2)2＋(6－2a)2≤a2， 整理得a2－7a＋10≤0， 所以原不等式组即为 解得2≤a≤5，故实数a的取值范围为[2，5]. 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中所求的点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为 (　　) A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 解析：选B.设z＝x＋yi(x，y∈R)，O为坐标原点，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点(x，y)到△ABC三个顶点A(2，0)，B(－2，0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $