第4章 §2 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．sin 15°＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选B.sin 15°＝cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝×－×＝.故选B. 2．化简cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝ (　　) A．cos β B．cos α C．cos (2α－β) D．cos (α－2β) 解析：选B.cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝cos [(α－β)＋β]＝cos α.故选B. 3．已知cos (－α)＝，则cos α＋sin α的值为 (　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝. 4．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则2α＋β的值为 (　　) A． B．π C． D． 解析：选B.因为α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，且sin2α＋cos2α＝1， 所以sinα＝，cos α＝，sin (α＋β)＝， 所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos α·cos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝×－×＝－1，又2α＋β∈，所以2α＋β＝π.故选B. 5．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是 (　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 解析：选BD.因为cos αcos β＝－sin α·sin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝.当α＝，β＝时，可得α－β＝，cos (α－β)＝，所以A不符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以B符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以C不符合题意；当α＝，β＝时，可得α－β＝－，cos (α－β)＝，所以D符合题意．故选BD. 6．(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为(，)和(－，)，则以下结论正确的是 (　　) A．cos α＝ B．cos β＝ C．cos (α＋β)＝0 D．cos (α－β)＝0 解析：选AD.由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，A正确，B错误；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×(－)－×＝－，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝0，C错误，D正确．故选AD. 7．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝__________，cos (α＋60°)＝____________． 解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－， cos (α＋60°)＝cos αcos 60°－sin αsin 60°＝－×－×＝. 答案：－　 8．化简：cos 80°cos 140°－sin 100°sin 140°＝___________. 解析：原式＝cos 80°cos 140°－sin 80°sin 140° ＝cos(140°＋80°)＝cos 220°＝－cos 40°. 答案：－cos 40° 9．已知sin ＝，α∈，则cos ＝________． 解析：由α∈，得α＋∈. 因为sin ＝＜，所以α＋∈，则cos ＝－， cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝－×－×＝. 答案： 10．(13分)已知sin α＝，sin (α＋β)＝，0＜β＜＜α＜π.求： (1)cos (α－)；(6分) (2)cos (β＋).(7分) 解：(1)因为＜α＜π， 则cos α＝－＝－， 所以cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝. (2)由(1)可得，cos ＝，因为<α<π，所以＜α－＜， 所以sin (α－)＝ ＝. 因为0＜β＜＜α＜π，则α＋β∈(，)， 可得cos(α＋β)＝－＝－. 所以cos(β＋)＝cos [(α＋β)－(α－)]＝cos (α＋β)cos (α－)＋sin (α＋β)sin (α－)＝－×＋×＝. 11．(多选)在△ABC中，sin A＝，sin B＝，则cos (A＋B)的值可能为 (　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选BC.在△ABC中，sin A＝>sin B＝，即A>B，所以cos A＝±，cos B＝. 当cos A＝，cos B＝时， cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝； 当cos A＝－，cos B＝时，cos (A＋B)＝cos Acos B－sin A sin B＝－×－×＝－.故选BC. 12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论中正确的是 (　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 解析：选AC.由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos (β－α)＝－1， 所以cos (β－α)＝，所以A正确，B错误； 因为α，β，γ∈， 所以sin γ＝sin β－sin α＞0，所以β＞α， 所以β－α＝，所以C正确，D错误．故选AC. 13．(13分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(6分) (2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求cos (α－β)的值．(7分) 解：(1)证明：a－b＝(cos α－cos β， sin α－sin β)，故|a－b| ＝＝， 即cos2α－2cosαcos β＋cos2β＋sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝2，化简得cosαcos β＋sin αsin β＝0，即a·b＝0，故a⊥b. (2)a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以 两式平方相加得cos2α＋sin2α＋cos2β＋sin2β＋2cosαcos β＋2sin αsin β＝1， 故cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝－. 14．(13分)(2025·钦州期末) 已知f(α)＝. (1)化简f(α)；(5分) (2)若锐角α满足f(α)＝－，是否存在锐角β，使sin (α－β)＝成立？如果存在，求出β；如果不存在，说明理由．(8分) 解：(1)f(α)＝＝＝－sin α. (2)存在锐角β，使sin (α－β)＝成立，且β＝. 证明如下： 结合(1)得－sin α＝－，所以sin α＝， 因为α为锐角，所以cos α＝＝，又α，β∈(0，)，所以－＜α－β＜， 由sin (α－β)＝，得0＜α－β＜， 所以cos (α－β)＝＝， 所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝， 又β为锐角，故β＝. 15．已知锐角α，β满足α－β＝，则＋的最小值为 (　　) A.6　　　 B．7　　　 C．8　　　 D．9 解析：选C.因为锐角α，β满足α－β＝， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，令x＝cos αcos β，y＝sin αsin β， 则x＋y＝，由题意得x>0，y>0， 则 ＋ ＝＋＝2(x＋y)(＋) ＝2×(2＋＋)≥2×(2＋2)＝8， 当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，此时＋ 取最小值，最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $