第5章 § 1 1.2 复数的几何意义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．若复数z＝－1＋2i，则z在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.复数z＝－1＋2i，则z在复平面内对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限．故选B. 2．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z＝ (　　) A．3－i B．－3i C．＋2i D．－2i 解析：选D.设z＝＋bi(b＜0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2(正值已舍去)，所以z＝－2i.故选D. 3．已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则＝ (　　) A．2＋i B．2－i C．1＋i D．1－i 解析：选A.由题意得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则＝2＋i. 4．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即>A>－B>0，sin A>cos B，所以cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0，又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限．故选B. 5．(多选)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝.点Z与Z1关于实轴对称，则点Z表示的复数z＝ (　　) A．1－i B．1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选CD.由于复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝，所以||＝＝，所以a＝±1，Z1(1，1)或Z1(1，－1).又点Z与Z1关于实轴对称，所以点Z(1，－1)或Z(1，1)，所以复数z为1－i或1＋i.故选CD. 6．(多选)(2025·南昌期末)已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i，a∈R，则下列结论正确的是 (　　) A．若z为纯虚数，则a＝±1 B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a∈(－1，1) C．若a＝0，则＝－1－i D．若a＝0，则|z|＝1 解析：选BC.对于A，若z为纯虚数，即a2－1＝0且a＋1≠0，则a＝1，故A错误； 对于B，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则解得－1<a<1，即a∈(－1，1)，故B正确； 对于C，若a＝0，则z＝－1＋i，＝－1－i，故C正确； 对于D，若a＝0，则|z|＝，故D错误． 7．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的模|z|＝________． 解析：因为a＋2i＝1－bi，所以a＝1，－b＝2，即b＝－2，所以z＝a＋bi＝1－2i，|z|＝＝. 答案： 8．若复数z＝2＋2i，z与在复平面内对应的点分别为A和B，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 解析：因为复数z＝2＋2i，所以＝2－2i，所以点A(2，2)，B(2，－2)，所以△ABO的面积S＝×2×[2－(－2)]＝4. 答案：4 9．设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且|x|＝|y|，则满足|z|＝1的复数z共有________个． 解析：方法一(代数运算)：由|z|＝1，得x2＋y2＝1.又|x|＝|y|，联立，解得z＝±±i，故满足题意的复数z共有4个． 方法二(几何意义)：由|z|＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆．又|x|＝|y|，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点，故满足题意的复数z共有4个． 答案：4 10．(13分)已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－m－6)i，m∈R，i是虚数单位． (1)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，求m的值；(6分) (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．(7分) 解：(1)复数z在复平面内对应的点为(m2＋2m，m2－m－6)，所以m2－m－6＝－(m2＋2m)，整理得3m2－12＝0，解得m＝±2. (2)由题意得 解得0＜m＜3，即实数m的取值范围是(0，3). 11．已知复数z＝1－i，将复数z在复平面内对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为 (　　) A． B．i C．1 D．i 解析：选A.复数z＝1－i在复平面内对应的向量＝(1，－1)，则||＝，∠xOZ＝，所以将向量绕点O按逆时针方向旋转得到＝(，0)，其对应的复数为. 12．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 因为|z1|＝2，所以a2＋b2＝4， 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i，所以Z1(a，b)，Z2(0，3)， 所以|Z1Z2|＝＝，故当b＝－2时，|Z1Z2|取得最大值，为＝5. 答案：5 13．(13分)(2025·焦作月考)已知复数z1＝－i与z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|的值；(6分) (2)设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？(7分) 解：(1)|z1|＝|－i|＝＝2， |z2|＝＝＝1. (2)由(1)知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的解集是以原点O为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|≤2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． 14．(15分)如图，已知在复平面内的平行四边形ABCD中，点A表示的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i. (1)求点D表示的复数；(7分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(8分) 解：(1)依题可知A(－1，0)，＝(2，2)，＝(4，－4)，可得B(1，2)，C(5，－2). 设点D表示的复数为x＋yi(x，y∈R)，得＝(x－5，y＋2)，＝(－2，－2). 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，解得x＝3，y＝－4， 故点D表示的复数为3－4i. (2)＝(2，2)，＝(4，－4)，可得·＝0，所以⊥，所以平行四边形ABCD为矩形． 又因为||＝2，||＝4，故平行四边形ABCD的面积为2×4＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $