第4章 §3 3.2 半角公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．cos 的值是 (　　) A． B． C． D． 解析：选A.cos ＝＝＝＝＝.故选A. 2．已知cos α＝－，π<α<，则sin ＝ (　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.因为π<α<，所以<<，则sin ＝＝.故选D. 3．设π<α<3π，cos α＝m，cos ＝n，cos ＝p，下列各式中正确的是 (　　) A．n＝－ B．n＝ C．p＝ D．p＝－ 解析：选A.因为<<，所以cos ＝－，即n＝－，此外由于<<，因此cos 的符号不能确定．故选A. 4．若α是第三象限角且sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)＝－，则tan ＝ (　　) A．－5 B．－ C． D．5 解析：选A.sin (α＋β)cos β－sin βcos (α＋β)＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan＝＝＝－5.故选A. 5．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．cos ＝ B．存在α∈R，使得cos ＝cos α C．对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立 D．若α是第一象限角，则tan ＝ 解析：选BD.因为只有当－＋2kπ≤ ≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝，所以A错误；当cos α＝－＋1且π<α<时，cos ＝cos α成立，但一般情况下不成立，所以B正确；当α＝2kπ(k∈Z)时，sin ＝sin α成立，但一般情况下不成立，所以C错误；若α是第一象限角，则是第一或第三象限角，此时tan ＝成立，所以D正确．故选BD. 6．(多选)已知函数f(x)＝(cos x＋1－sin2x)·tan，则下列结论中正确的是 (　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 解析：选BC.由题意得≠kπ＋(k∈Z)，即x≠2kπ＋π(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠π＋2kπ，k∈Z}，关于原点对称．f(x)＝(cos x＋1－sin2x)·tan＝(cos x＋cos2x)＝sin 2x， 则f(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．但由于f(0)＝0，f(π)不存在，所以f(x)的最小正周期不是π，应该为2π.故选BC. 7．已知cos α＝，α∈，则sin ＝__________． 解析：依题意，sin ＝－＝－＝－. 答案：－ 8．函数f(x)＝cos －2cos2x＋1的最小正周期为________． 解析：f(x)＝cos－2cos2x＋1 ＝cos2x－sin 2x－2·＋1 ＝－－＋1 ＝－cos －＋1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 答案：π 9．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是________． 解析：设顶角为α，底角为β，则α＋2β＝π，cos α＝，则α∈，故∈(0，)，所以sin ＝＝＝， 所以cos β＝cos ()＝sin ＝. 答案： 10．(13分)(2025·桂林月考)(1)已知3π＜θ＜4π，求证：＝－cos .(6分)　 (2)证明：＝.(7分) 证明：(1)因为3π＜θ＜4π， 所以＜＜2π，＜＜π， 所以cos ＝， cos ＝－， 所以左边＝＝＝＝－cos ＝右边，所以等式成立． (2)左边＝＝＝＝＝右边， 故＝成立． 11．设a＝cos212°－sin212°，b＝，c＝，则有 (　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c 解析：选A.因为a＝cos212°－sin212°＝cos24°，b＝＝tan24°<tan 30°＝<＝cos 30°<cos 24°＝a，c＝ ＝sin 24°<＝tan 24°＝b，所以c<b<a，故选A. 12．(2025·宿州月考)在△ABC中，若cos B＝，则cos2＋tan2＝________． 解析：cos2＋tan2 ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝. 答案： 13．(13分)在△ABC中，cos A－sin A＝－. (1)求tan 的值；(6分) (2)若sin B＝，求sin .(7分) 解：(1)因为cos A－sin A＝－，两边同时平方得1－2sin A cos A＝， 所以2sin A cos A＝. 在△ABC中，sin A>0，2sin A cos A>0， 所以cos A>0. 由2＝1＋2sin A cos A＝， 得cos A＋sin A＝， 由解得 所以tan ＝＝＝. (2)由(1)得，cos A＝，sin A＝. 因为＝＝＝<1， 所以sin B＝<sin A＝，由正弦定理得b<a，有B<A，所以cos B>0， 可得cos B＝＝. 所以sin ＝sin B cos A－cos B sin A＝×－×＝. 14．(15分)已知α∈(0，)，sin (π－α)＝. (1)求cos 的值；(7分) (2)若β∈(0，π)，sin (α－)＝，求cos 的值．(8分) 解：(1)因为sin (π－α)＝， 所以sin α＝，又因为α∈(0，)， 所以cos α＝＝＝. 因为∈(0，)， 所以cos ＝ ＝ ＝. (2)由(1)中cos ＝，∈(0，)， 可得sin ＝. 因为β∈(0，π)，所以－∈(－，0)， 而α∈(0，)，所以α－∈(－，)， 又因为sin (α－)＝，所以α－∈(0，)，所以cos (α－)＝， 所以cos ＝cos ＝ cos (α－)cos ＋sin (α－)sin ＝×＋×＝. 15．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，设在Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若(a＋b)2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝________，sin －cos ＝__________． 解析：由已知得a2＋b2＝100，(a＋b)2＝196，又a＞b，解得a＝8，b＝6， 所以cos α＝＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝. 因为0＜α＜，所以0＜＜， 所以sin＝＝， cos ＝＝， 所以sin －cos ＝－＝－. 答案：　－ 学科网（北京）股份有限公司 $