第6章 §3 3.1 空间图形基本位置关系的认识3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(一) 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　 1．点A在直线l上，且直线l在平面β内．用集合符号表示为(　　) A．A⊂l⊂β B．A∈l⊂β C．A⊂l∈β D．A∈l∈β 解析：选B.由题意可知：点为元素，线和面均为集合，结合元素、集合之间的关系可知A∈l⊂β. 2．可使平面α和β重合的条件是它们的公共部分中有(　　) A．三个点 B．1个点和一条直线 C．无数个点 D．两条平行直线 解析：选D.对于A，若三个点共线，则两个平面可能相交于三点共线的直线，故A错误；对于B，若点在直线上，则两个平面可能相交于这条直线，故B错误；对于C，若无数个点共线，则两个平面可能相交于无数个点共线的直线，故C错误；对于D，因为过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，所以它们的公共部分中有两条平行线时一定存在不共线的三点，故D正确．故选D. 3.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B∉l，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D 解析：选D.根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故点C，D在β与γ的交线上．故选D. 4.如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC＝l，则(　　) A．l∥CD B．l∥BC C．l与直线AB相交 D．l与直线DA相交 解析：选D.两个平面若有一个交点，那么必然有无数个交点，而且这些交点在同一条直线上，那么DA与BC的交点必在直线l上，故直线l与直线DA相交．故选D. 5．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　) A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 解析：选B.两条平行直线、两条相交直线、一条直线及这条直线外一点都分别确定一个平面． 6．(多选)已知α，β为两个不重合的平面，A，B，M，N为四个不同的点，a为直线，下列推理正确的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 解析：选ABD.对于A，由基本事实2可知，a⊂β，A正确．对于B，由基本事实2可知，直线MN⊂α，MN⊂β，所以α∩β＝MN，B正确．对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β，由基本事实3可知α∩β为经过点A的一条直线而不是点A，故α∩β＝A的写法错误，C错误．对于D，因为A，B，M不共线，所以由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合，故D正确． 7．一个三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分． 解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分． 答案：21 8.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________． 解析：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE. 答案：P∈直线DE 9．(2025·九江月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中回答下列问题： (1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1＝____________； (2)平面A1C1CA∩平面ABCD＝__________． 解析：由题图可知，(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1＝A1B1； (2)平面A1C1CA∩平面ABCD＝AC. 答案：(1)A1B1　(2)AC 10．(13分)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为A1D1的中点，经过BE的截面与棱DD1，A1B1分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，AA1共点． 证明：因为B，F，E，G四点共面，BG不平行于EF，设BG∩EF＝P，又因为BG⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ADD1A1，所以P为平面ABB1A1与平面ADD1A1的公共点， 因为平面ABB1A1∩平面ADD1A1＝AA1， 所以根据基本事实3可得P∈AA1， 所以直线BG，EF，AA1共点． 11.(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点)，且BE∩CF＝P，则下列结论正确的是(　　) A．B，C，E，F四点共面 B．P∈平面ABB1A1 C．平面AEF与平面BB1C1C不相交 D．P，A1，A三点共线 解析：选ABD.对于A，因为BE∩CF＝P，所以BE，CF共面，即B，C，E，F四点共面，故A正确．对于B，P∈BE，BE⊂平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，故B正确．对于C，直线AE与直线BB1相交，AE⊂平面AEF，BB1⊂平面BB1C1C，则平面AEF与平面BB1C1C相交，故C错误．对于D，因为P∈CF，CF⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，由B知P∈平面ABB1A1，又平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，故D正确． 12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是BB1，A1C1的中点，平面AEF与线段B1C1交于点G，则＝______． 解析：如图，延长AF，CC1交于点D，连接DE交B1C1于一点，易知该点为点G，因为F是A1C1的中点，AC∥A1C1， 所以C1是DC的中点，因为E是BB1的中点，所以B1E∥CC1，B1E＝CC1， 因此有B1E∥DC1，B1E＝DC1，于是有＝＝. 答案： 13．(13分)如图所示，E，F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线． 解： 如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M. 因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， 所以M∈(平面BED1F∩平面ABCD). 又B∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD. 即直线MB为所求作的两平面的交线． 14．(15分)(2025·焦作月考)如图所示，已知△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，直线AA1，BB1，CC1相交于一点O，AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1分别相交于点P，Q，R三点，求证： (1)AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1分别在同一平面内；(7分) (2)P，Q，R三点在同一条直线上．(8分) 证明：(1)因为AA1∩BB1＝O， 所以AA1，BB1确定平面ABO， 故A，A1，B，B1都在平面ABO内， 所以AB⊂平面ABO，A1B1⊂平面ABO， 因为AA1∩CC1＝O， 所以AA1，CC1确定平面ACO， 故A，A1，C，C1都在平面ACO内， 所以AC⊂平面ACO，A1C1⊂平面ACO， 因为CC1∩BB1＝O， 所以CC1，BB1确定平面CBO， 故C，C1，B，B1都在平面CBO内， 所以BC⊂平面CBO，B1C1⊂平面CBO. (2)因为A1B1∩AB＝P，所以P∈A1B1， P∈AB，因为AB⊂平面ABC， A1B1⊂平面A1B1C1， 所以点P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上； 因为B1C1∩BC＝Q，所以Q∈B1C1，Q∈BC， 因为BC⊂平面ABC，B1C1⊂平面A1B1C1， 所以点Q在平面ABC与平面A1B1C1的交线上； 因为A1C1∩AC＝R，所以R∈A1C1，R∈AC， 因为AC⊂平面ABC，A1C1⊂平面A1B1C1， 所以点R在平面ABC与平面A1B1C1的交线上． 所以P，R，Q三点在同一条直线上． 15．已知四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，AM＝2MB， AN＝ND，CP＝2PD，平面MNP交BC于点Q，则BQ的长为(　　) A． B．　　 　 C． D．1 解析：选C. 因为四面体ABCD的所有棱长都是3，AM＝2MB，AN＝ND，CP＝2PD，所以AM＝2，BM＝1，AN＝1，ND＝2，CP＝2，PD＝1，延长NM交DB的延长线于点T，连接TP交BC于点Q，过N作NE∥BD交AB于点E，因为△AEN为边长为1的等边三角形，M为EB的中点，所以△ENM≌△BTM，所以EN＝BT＝1，所以DT＝BT＋BD＝4，过P作PF∥BC交BD于点F，所以△PDF为边长为1的等边三角形，所以PF＝DF＝1，所以TF＝3，BF＝2，因为PF∥BC，所以＝，即＝，所以BQ＝.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $