第4章 3.2 半角公式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

(兮2a厂a罗“，所以受受放B选项正 确：因为（受）m(子）-ox,即r(Ξ），所 以函数八)的图象和函数g()的图象关于直线x=牙对称，故 C选项正确；已知g(x)=f(x-p)=sin2(x-p)=1cos(2x-2).又 2 g(）=1+os24,则1-cos(2x-2p）-1+cos2“,即cs（2x-2p)+ 2 cos2x=0.根据两角和差公式，cos(2x-2p）=cos2xcos2p+ sin2xsin2p,整理得sin2psin2x+(cos2p+1)cos2x=0.因为该等式对 征童：都成立，所以他2如引0由血24=0得2如-e-号 （(kez),由cas2p+1=0得ams2g=-1,29=26m+n,9=km+号(ke 乙.又>0，综合可得=+号(keN),D选项正确 02或分解折：由9m2a=4m(a+子）可得8 1-tan2a 4nD放2ma-5ma+2=0,放ma=2或ma=分，放 1-tan a 如(a+)归ma=-2政号 10.√3解析：由a√2+2c0s2C=b,可得a√2+2(2cos2C-1)=b, 即2 acos C=b,即2 sin Acos C=sinB=sin(A+C),即sin Acos C- Asin C=0,化简可得sm(A-C)=0又-74-C<分，可得A=C, 由bsin C=csin2B,可得sin Bsin C=2 sin Csin Bcos B,因为sinB≠ 0,血C≠0，所以m日=分即B=号，所以锐角三角形4C为等边 三角形，所以面积为分×2x2X血号-5 1保（歌血mom了血2么停1om2创到 22m(2+号） 所以)的最小正周期为7：受元 令2x+号-m,keZ解得x=经6keZ, kT TT 所以)的对称中心的坐标为（受石，受），keZ (2者-0，则血(2a号）原所以=(0+） 所以m(4+g）-m[(40+)）+受]=-om(0+ )号 12解：(1)在△0PN中，∠0P=∠0PN:号9， 由正弦定理得， LOPNONP,即0N ON OP 50,即 owg(3） 则5-25aa0p.0N:血0=500g5n(传）·a0- 50oan(g-): 必修第二册·BS 即S=5000w3 血a(0）,其中0<， S< 0003 3 =5000,3 3 、2 5000W3w3 1 1 3■ (4in20+4cos20-4】 =-2500w3/3 1 1 3 (2im20+2cos202） =2500w3 3 2500w5, 3 8in 20+T）-1250w5 6 3 则S=2500w3 π1250w5 3 sin29+6) 3 (2)设阴影部分面积为S阴影，扇形空地A0B面积为S扇形，则 =1xx50=1250 S阴影=S第影一S.并且S第影=2了 m. 3°sin(20+刀）41250w 12502500W3. 则S阴影= 3T- 6 3 ,0<0< 3 则W=6S形=6(1250.2505 3 3 -50wasn(2r）2wm+2wa,则r:-5m5n9: 石）+250m+2505,00c号 因为0c0c号所以g<20r号g则当20+8子，即0=君 61 6 6 时，-50w厅an(20+石）取得最小值，则总费用取得最小值 求得Wim=-50003+2500m+25005=2500m-25003= 2500(π-√3). 压轴挑战 (1)解：sin3a=sin(2a+a）=sin2 xcos+cos2 asin a=2 sin acos2a+ (1-2sin2a)sin a=2sin a(1-sin2a)+sin a-2sin a=2sin a-2sina+ sin a-2sina=3sin a-4sin a. (2)解：由(1)得in2a=3sina-im3gsin3126+sin260-sin260 4 sin 180 3sin1260-sin378°+3sin6°-sin18°-3sim66°+sin198°_ 4sin18° 3sin(120°+6)-sin18°+3sin6°-sin18°-3sin(60°+6°)-sin18° 4sin18° 3w 20s6 2sim60-3sin18+3s5in6°3 2c0s6°- 2 sin 6o 3sin18° 4sin18° 4sin 180 3 4 (3)证明：因为36°+54=90°，所以in36°=cos54°，即sin(2×18)= cos(3×18),可得2sin18°co318°=4co3318°-3c0s18°.因为co318°≠0， 所以2sin18°=4cos218°-3,8sin318°-4sin18°+1=6sin18°-2sin54°- 4sin180+1=4c0s218°-3-2cos36°+1=4cos218°-3-2cos218°+2sin218°+ 1=0. 3.2半角公式 白题 基础过关 1-c0s 1 1.B 解析：sin T 6 2 = 4-23_3-1 12 2 =N2 2√5 √6-√2 4 黑白题052 2.C解析：tan(-877.5)=-tan877.5°=-tan(2×360°+157.5)= -tan157.5°=tan22.5°= sin 450 1+cos45° =√2-1. 3.V2+2a 2 解析：：sin100°=a,cos190°=cos(90°+100°)= -sin1000=-a,.sin95°= /1-c0s190°√2+2a 2 2 4.A解折：因为720°<a90,所以180<号<25，因为0：4 a1 所以sin 4=-√2-2 一故选A 5.BD解析：当a=2km+,eZ时，血a=1+asa成立，但受=km+ 牙eZ,放m受不作在： a sin a=1. 当a≠2km+m,keZ时，lan2=1+co8& 1+oea2-sa即2-csa 6.B解析：因为an?=2,所以si加a:na 1 1+co8a,所以cosa=2 又因为ae(0,受)，所以a=号，ma=3, 7-3解折：m(a-8)casa-cs(a-8)sma=号=sn(a-g-a) 如A血B=子结合B为第三象限角s月=-V个B= 云期m(层)小如会1R 5 、 =-3. 2 sin B 3 5 8.C解析：由已知∠C0B=0,则LCAB= 2,∠CB0=T0 22,∠BCH= 0 BH 、日，又因为tam2=CH,sin0=c。 0Cc0s2-乙是，BH+oE=OB=Oc,四此 OH 1-cos0三oc-am之故选C sin OC 9.B解析：根据向量模的计算公式，若a=(x,y）,则1a=√+y. 已知0i=(10,0),则1011=√102+02=10：0成=(8,6)，则101= V8+6=√64+36=100=10.可得c0sLA08=可.0 ,因为 10A110B Oi.0i=10x8+0x6=80,则cosL40B=80。=4 10x105,则sinL40B= 1om乙408=√g-子根据半角公式，w ∠AOB 2 + 9 4 1-5 /5 2 =√2=√2 √因方1花1=11=0，设c(,m dom408-1o30-3vm=1d40-10x 10 10 √10，所以0元=(310,10). 10.B解析：函数y=snx（1+aman乏）=snx（1+amx· o2归sinx+anxI-cos)=inx+an一nx=tan元 该函数要有意义必须有csx≠0，且c乞≠0，即x≠km+受(ke 参考答案 Z)且之≠m+7(k。Z),所以函数的定义域为 {k≠m+子(keZ)且≠2+(ez},所以函数的最小正 周期T=2×T=2π. §2-§3阶段综合 黑题 阶段强化 1.A 解析：因为a(牙）=[受-（年+）门=血（牙+o), 所以m（年-0）=2a（+0）-血（子+6），显然 w(年+0）≠0，则m(年+0）=2，则m0=a(年+0牙)月 2-11 1+2×13 m[(a受)g] 2.B解析： T cos crcos+sin asin -cos acos tsin asin T 1 8 8 8-1+ -1+tan otan T 13 cos arcos +sin csin 1+tan crtan 3.AC解析：由f代x)=2sin(x+p）+sinx+1=2(sin xcos+cosx· sin )+sinx+1 =2cos 1)sin x+2cos xsin o 1= √(2cosp+1)2+(2sinp)产sin(x+0)+1,所以函数的最小值为1- √/(2cosp+1)2+(2sinp)2=1-√3，即(2cosp+1)2+(2sinp)2=3, 解得omsp=子，所以9=2n±(e2. 4.D解析：a=√/1+sin52°+√1-sin52°=√1+2sin26°cos26°+ √1-2sin26°cos26°=sin26°+cos26°-sin26°+c0s26°=2cos26°，b= 4cos31°cos59°=4cos31°sin31°=2sin62°=2cos28°，c=tan(115°- 55°)(1+tan115tan55o)-√3tan115tan55o=√5=2cos30°，而余弦 函数y=cm在(0，号）上单河递减，则aw26>as28>w30, 所以a,b,c的大小关系是c<b<a. 5.D解析：根据正弦定理，由2025sin2C=sin2A+sin2B可得 2025c2=a2+b2, sinA,sinB）.sinC tan A+tan B)tan C cos A cos Bcos C tanA·tanB sin A.sin B cos A cos B (sin Acos B+cos Asin B)sin Csin(A+B)sin C sin Asin B cos C sin Asin Bcos C' 因为在△ABC中，A+B+C=T,所以sin(A+B)=sinC.又根据余弦定 理，msC-a2+62-c2_2025c2-e1012c2 2ab 2ab ab 故原式 sin C sin C c2 ab sin Asin Bcos C ab1012c21 012' 6.C解析：由题意得3cos2a-sin2a= os2atan2a,即3(cos'a )-n afo 即2sin2a+sin acos a-cos2a=0,两边同时除以cos2a可得 2mama-1=0,解得m&=分或ma=-1,当ma=-1 黑白题0533.2半角公式 电子错题本 白题 基础过关 限时：25min 题组1给角求值 3 7.*已知sin(a-B)cosa-cos(a-B)sina= 5 1.*(2025·江苏扬州高一月考)sin 的值是 121 且8为第象限角，则m号T)片 A.y6+2 B6-2 题组3半角公式的综合应用 4 4 8.★(2024·福建福州高二期末)数学里有一 C.v6+2 D.6-2 种证明方法被称为无字证明，是指仅用图象 4 而无需文字解释就能不证自明的数学命题， 2.*(2025·广东深圳高一期末)tan(-877.5)= 由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认 为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如 ( 图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB,垂足 A.-√2-1 B.1-√2 D.2-1 为H,记∠COB=0,则由tan∠BCH BH可以 CH C.√2-1 2 直接证明的三角函数公式是 ( ) 3.*已知sin100°=a,则sin95°等于 0 sin 0 0 sin 0 A.tan B.tan 21-c0s0 21+c0s0 题组2给值求值 01-c0s0 01+c0s8 C.tan 2-sin 0 D.tan 2 sin 0 4.·(2024·陕西渭南高一期末)已知cos a 4720<a<90,则sn年等于 ( A.6 4 B.3 2 4 D③ 0 (第8题) (第9题) 5.(多选)(2025·福建厦门高一期中)已 9.*(2025·江苏常州高一期中)在扇形A0B 知sina=1+amsa,则am受的可能取值为 中，以0为坐标原点建立如图所示的平面直 角坐标系，若01=(10,0)，0B=(8,6),C为AB 的中点，则0C= ( ) B.1 A.(9,3) B.(3√10，√10) C.2 D.不存在 C.(53,5) D.(45,25) 6.若ae020a sin a tan a ,则tan a= 10.”函数)=sinx1+mam子)的最小正 周期为 ( A.③ 3 B.3 C.3 4 D.6 2 A.T B.2T C. 2 第四章黑白题085 §2-§3阶段综合 于错题本 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*(2025·重庆北碚区高一期中)已知6.*(2025·河北石家庄高三月考)正弦一词 em(年-=2as(+)，则am9=( 始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是十五世纪西 欧数学界的领导人物，今天我们所使用的符 o. C.-3 D.、4 号：sin,tan,sec(正割)，cos,cot(余切)，csc(余 3 割)，是经过了漫长的历史发展，直到 2.*(2025·江苏南通高一期中)若tana· 1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通 3π sin (a- 8 用起来，其中se6=1 tan 82,则 cos g'csc 0= cos a-8) 3 1 sec2aSec2a,则tana sec 2a csc 2a csc22a A.-3 D.3 2 3.*(多选)(2025·辽宁辽阳高一月考)已知 B.-1 函数f(x)=2sin(x+p)+sinx+1的最小值为 1 C. 1-√3，则φ的值可能是 2 1或 ( ) 人25号e 7.**(多选)(2025·江苏南通高一月考)记 B2hm石keZ f (x)=sin2"x+cos2"x,nEN*, () C.2k() D.k(ke) A(+)f() 4.**（2025·广东佛山高一期中)a= B.(x)的最小值为 √J1+sin52°+√J1-sin52°，b=4cos31°cos59°， c=tan115°-tan55°-√3tan115tan55°，则a, C()的最小值为 b,c的大小关系是 ( D.f(x)≥fn(x) A.a<b<c B.a<c<b 8.*已知sina=- 、且&为第四象限角，若 C.b<c<a D.c<b<a 5.**(2025·浙江宁波高一期末)在△ABC中， sin(a+B)=2,则an(x+B)的值是 cos B 2 025sinC=sininB tan Attan B)tan C 9.*(2025·山东临沂高一月考)若 tanA·tanB ( 血a)=m(r+a),则os2a 1 1 A.2025 B.2024 4tan 2 2 1 C.2025 D.1012 1+tan2 a 2 必修第二册·BS黑白题086