第4章 §3 3.1 二倍角公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．sin cos ＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意得，sin cos ＝sin (－)cos ＝cos2＝＝＝.故选B. 2．化简－的结果是 (　　) A．cos 10° B．－cos 10° C．sin 10° D．－sin 10° 解析：选D.原式＝ － ＝|cos 10°－sin 10°|－|cos 10°| ＝(cos 10°－sin 10°)－cos 10° ＝－sin 10°.故选D. 3．(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin (α－)＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选D.由cos ＝，0<α<π， 得sin ＝， 所以sin α＝2sin cos ＝， cos α＝2cos2－1＝－， 所以sin (α－)＝(sin α－cos α)＝. 4．已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，则α＋2β的值为 (　　) A． B． C． D． 解析：选C.tan 2β＝＝，tan(α＋2β)＝＝1.因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，所以α，β∈，所以α＋2β∈，所以α＋2β＝.故选C. 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，若C＝，则B＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为＝＝＝，C＝，所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，又0<B<，所以B＝.故选B. 6．(多选)若α∈(0，π)，sin α－cos α＝，则 (　　) A．sin 2α＝ B．tan α＝ C．cos 2α＝－ D．sin α＋cos α＝ 解析：选BCD.对于A，已知α∈(0，π)，sin α－cos α＝，两边同时平方得1－2sin αcos α＝，即sin αcos α＝，所以sin 2α＝，故A错误； 对于B，联立又α∈(0，π)，得所以tan α＝，故B正确； 对于C，由B选项得cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，故C正确； 对于D，由B选项可得sinα＋cos α＝，故D正确．故选BCD. 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－3x上，则tan ＝__________． 解析：由题意得tan θ＝－3，所以tan 2θ＝＝＝， 所以tan ＝＝7. 答案：7 8．已知α为锐角，且sin ＋cos ＝，则sin α＝__________，tan 2α＝____________． 解析：因为sin ＋cos ＝，所以sin2＋cos2＋2sin cos ＝，所以sin α＝.因为α为锐角，所以cos α＝，tan α＝，所以tan 2α＝＝＝. 答案：　 9．函数f(x)＝sinx＋cos 2x的值域为___________． 解析：f(x)＝sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋sinx＋1＝－2(sin x－)2＋，因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝时，f(x)取最大值，最大值为；当sin x＝－1时，f(x)取最小值，最小值为－2.所以函数f(x)的值域为. 答案： 10．(13分)(2025·宜春月考)已知cos α＝－，且α为第二象限角，求的值． 解：因为cos α＝－，α为第二象限角， 所以sin α＝＝＝， 所以tanα＝＝－， 则 ＝ ＝＝ ＝2tan2α＝2×＝2×＝. 11．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2(x＋)，若函数f(x＋a)的图象关于y轴对称，则|a|的最小值为 (　　) A． B． C． D． 解析：选B.f(x)＝sin2x＋sin2(x＋)＝＋＝ ＋＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin (2x－)＋1， 所以f(x)＝sin (2x－)＋1， 由函数f(x＋a)＝sin (2x＋2a－)＋1的图象关于y轴对称，则有2a－＝＋kπ，k∈Z，所以a＝＋，k∈Z，所以当k＝－1时，|a|最小，最小值为.故选B. 12．(多选)密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若(sin α－cos α)2＝2sin αcos α，则角α可取的值用密位制表示正确的是 (　　) A．12—50 B．2—50 C．13—50 D．32—50 解析：选ABD.因为(sin α－cos α)2＝2sin αcos α，即sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝2sinαcos α，即4sin αcos α＝1，所以sin 2α＝，所以2α＝＋2kπ，k∈Z或2α＝＋2kπ，k∈Z，解得α＝＋kπ，k∈Z或α＝＋kπ，k∈Z.对于A，密位制12—50对应的角为×2π＝，符合题意；对于B，密位制2—50对应的角为×2π＝，符合题意；对于C，密位制13—50对应的角为×2π＝，不符合题意；对于D，密位制32—50对应的角为×2π＝，符合题意．故选ABD. 13．已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________． 解析：因为tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(0，π)，所以α∈(0，)，β∈(，π)， 因为tan 2α＝＝＝>0， 所以2α∈(0，)，β∈(，π)， 因此－π<2α－β<0， 因为tan(2α－β)＝ ＝＝1，所以2α－β＝－. 答案：－ 14．(15分)已知函数f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴；(7分) (2)若x∈，求函数f(x)的单调区间及最值．(8分) 解：(1)f(x)＝sin2x－(2cos2x－1)＝sin2x－cos 2x＝sin (2x－)， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π； 由2x－＝＋kπ，k∈Z，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z. (2)由(1)知f(x)＝sin . 当x∈时，－≤2x－≤. 由－≤2x－≤，得0≤x≤， 所以函数f(x)的单调递增区间为； 由≤2x－≤，得≤x≤， 所以函数f(x)的单调递减区间为. 所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取最大值；当2x－＝－，即x＝0时，函数f(x)取最小值－. 15．(15分)焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问A在何处时，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？ 解：如图，连接OA， 设∠AOP＝α，过点A作AH⊥OP，垂足为H， 在Rt△AOH中，OH＝cos α，AH＝sin α， 所以BH＝＝sin α， 所以OB＝OH－BH＝cos α－sin α， 设平行四边形ABOC的面积为S， 则S＝OB·AH＝·sin α ＝sin αcos α－sin2α＝sin2α－(1－cos 2α) ＝sin 2α＋cos 2α－ ＝－ ＝sin －. 由于0＜α＜，所以＜2α＋＜， 当2α＋＝时，即α＝时，Smax＝－＝， 所以当点A是的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为 平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $