第4章 3.1 二倍角公式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4c0sa=-4,有意义；当m≠0时，由-√3 msin a+(4-m)cosa=3m-4 得v3m+(4-m)sin(a+g)=3m-4(amp=(m-4 3m ,所以 3m-4 sin(a+)=- ,由-1≤sin(a+p）≤1得-1≤ 3m2+(4-m) 5m+4-m1.即13-1≤V3m4(4-m解得0m≤号 3m-4 16 6 综上，0≤m≤ 5 7.解：(1)函数f代x)=3 sin x+acos wx=√3+a2sin(ox+p）tang= ）,由)图象的一个对称中心到相邻对称错的距离为于，得 2行=子每得@2.则=5动2a2红o(君)】 3得0++分=3，g得a=1,所以0=5n2+om2x 2sin(2x+) 2曲e【u]得2s+e[22] 当[]时2ge[2[] 当1e[臣石)时，函数)在[，石]上单调递增，在 [石4]小上单调递减则M-(石）=2又石1+牙石 46 则m=+）因此n)=2-2m(2+号）2+西e [g-）m(2）=(o.]oe1.2: 当：e[石得]时，函数)在【+]上单调递该 =2n(2+6）m,=/(+）-2sm(2+2号）=2am(2+ ) 因此H)=2n(2+石)）-2s(2+g）=22n(2-2）,2 e[],ee2,2a. 所以)在区间L2·12] 上的值域为[1,22]. 2.4积化和差与和差化积公式 白题 基础过关 40°+20° 40°-20° 1.A 解析：sin40°-sin20 2cos 2 sin 2 c0s40°-c0s20° 40°+20° 40°-20° -2sin 2 3 c0s30°2 sin300=- =-3 1 2 2,C解析：sin37.5°c0s7.50=7[in(37.5°+7.5）+sin(37.5 759)]=(血454n30)-54 4 3.0解析：sin14°+sin46°-cos16°=2sin 14°+46°46°-14° 2 2 c0s16°=2sin30°c0s16°-c0s16°=0. 必修第二册·BS 4.、3 解析：c0s20°cos40°-c0s40°c0s80°+c0s80°c0s20°= 2[m(40420r)+es(40-20)1-2[cs(80+40)+ms(80 409)1+[m(0+20r)+s(s0-20r1=2[分+m20r] 1「1， 20sm10 3,1 4+2[2sin30°·sin10-sin10]=子 3 5e解折因为o(a+号)-(a-）【(a+ ）m(a)][-(号）s] 2（sin2a-l)=3,所以im2a=3 6.B解析：由sinx+cosa=sinB-cosB可得sinc-sinB+cosc+cosB= 0.测229n9+2g99-0.印om9(9 2 2 m）-n因为ae()8(受)所以e (号号)则m9≠0，可得m9:-L又因为“9。 2 2 (）则9即a=受 T 1B解桥：因为y=(+）n(-号）2号m 1所以y=血(+号）n(-号)的最大值为1散选 8.5m 解析：由题意得f代x)=sin3x-sin[(2x+p)+(x-p)]-sin[(2x+ p)-(x-p)]=-sin(x+2p) 因为/（年）=-血（年+2e）=1,所以+2p=-7+2,ez。 即p=-g+m,keZ因为pe(0,m),所以当k=1时，e=8 9.解：因为sin a+sinB=sin （学2）n(g）-mg9 =a,cos a+cos B=cos a+pa-B）+ 2 2sin a+8 a-B 12c0s24 2cos -Cos- =b,所以tan a+B 2 2 2 a+B a-B b 2cos cos 2 2 §3二倍角的三角函数公式 3.1二倍角公式 白题 基础过关 1.BCD解析：对A,sin15°cos15o= 2sin30°= ,故A错误： 4 对B,os2T 。=cos:=2,故B正确： 对C,tan22.5°1 1m2225。=2tan45°三2，故C正确： 对D,1-2sin222.5°=c0s45°= 经放DE晚 sin12° tan12o-√3 0s1203 2.-8解析：m12°-2sim120sn12(1-2sin212) sin12°-√3cos12o -4sin24c0s24-8, sin12°c0s12°c0s24°1 2sin24°c0s240 黑白题050 3.A解析：(1,2)是角a终边上一点，.tam&=2,.tan2a= 2ana2×24 1-tan2a1-22-3 4D解折：因为=(e-子)学所以如a==2(a-号） s(。）12x(）°1} 5?解析：由感意有中 1+cos 2a+8sin2a 2cos2a+8sin2a 2+8tan2a sin 2a 2sin acos a 2tan a 2+8×2217 2×22 6.A解析：因为0<a牙，所以0<2a<7,故sima>0,m2a>0 分√v网-a 又因为√22 11 所以√222 ,4“4/22c2a 1-cos 2a √sin2a=sina. 1.?解析：原式= o(a）1(2a+号） sin2a=1- 2 [=(2a子）+m(2a+好)门-sma=1-m2a… cos 3sina=1-cos 2a 1-cos 2a 2 2 =2 8.证明：(1)左边= c0s0c0s20c080c0s20 tan 6 tan 20 sin 0 sin 20 sin a 2sin Ocos 6 2c0s20-c0s202c0s20-(2c0s20-1) 1 2sin 0cos 0 2sin Ocos 0 2sin6cs日5in29右边. 1+2sin Ocos 0-(1-2sin20)2sin 0(cos 0+sin 0) (2)左边= 1+2sin 0cos 0+(2cos20-1)2cos 0(cos 0+sin 0) sin 6 cs9n0=右边. 四重难点拨 1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式” (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、，特殊角：(2)变名：尽可能 减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式 化、降低次数等。 2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或 所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等 变形. 重难聚焦 9C解折：因为号-只由正孩定理有合-片血mA sin Bcos B=sin 2A=sin 2B. 所以21=2B或21+2B=,即A=B或A+B=号，所以△ABC为等要 或直角三角形 10.T解析三o2·am0o2r·sn0os22x,因 此函数到=m·m:的最小正周期为宁=红 1.【名2]解折：化筒m2xae=m,得a=2e2xte-l 令1期e-1m=212(）厂-号当 时，m取得最小值号，当1时，m取得最大值2故实数a的取 值能还号2]」 参考答案 黑题 应用提优 1.BD解析：因为sin2a>2tan,即2 sin acos> 2sina,所以sina· cos a (eaa小o,pma( sin'a >0,所以nc<0,所以a是第 cos a cos a 二象限角或第四象限角. 2B解折：由2m号=1-一B-货则68=1-行-行所以 2 a a2+e2-b2 c 2ac =。,可得a2=b2+c2,不能确定b=c是否成立，所以△ABC 一定是直角三角形. 3.C解析：因为m《=行mB=-7所以m2a= 2tan o= 1-tan2a 23 tan 2a-tan B 1.因 -(3) -.tan(2a-B)=1+tam 2atan B 为a,B∈(0，r),tana>0,tanB<0,所以0<a< 0又m2 0,有0<2a<行，于是得-m<2a-B<0,因此，2a-B=-。 3r,所以2a 3π B=4 4.D解析：由m=2sin18°，a2+b=4→b=4-(2sin18)2=4(1- sin218)=4e0s2180,2-0 2-2sin18° 2(1-sin18o) 'a264sin218×4cos21804(2sin18c0s18)2 1-sim18°_1-sin18°_1-sin18° 1-sin 18 2sin23601-ws7201-cos(90-18)i-sim180=1. 5.B解析：因为(sinx+cosx)2=1+2 sin xcos,所以(2c0sa)2= 1+2sin2B→4cos2a=1+2sin2B,所以2(1+cos2a)=1+(1- c0s23)→2c0s2a+c0s23=0. 2 8sin 6.B解析：因为m号c写ms号 Ssin 9 T 4sin 2n 2T 4T T 9c0s9 8m sin 9 1 8号 Ssin 9 8,所以 T2π4T 1 xcos9cscos台x>g,所以x>10 "是“x>c0s9c0s9 。4π”的必要不充分条件. cos 9 7.C解析：因为集合A=B,所以sina=cos,sin2a=cos2a,或 sina=cos2a,sin2a=cosa,分两种情况进行讨论： ①当sin a=cosa,sin2a=cos2a时，且sina≠sin2a,cosx≠cos2x. 因此sin2a=2 sin ceos=2cos2a,cos2a=2cos2a-1.又因为 sin2a=cos2a,所以2cos2a=2cos2a-1,等式不成立，排除此情况. ②当sina=cos2a,sin2a=cosa时，且sin a≠sin2a,cosa≠c0s2. 因此血2x=2ns&=0s&,则ma=),sa=±V1a=士？同 时也满足条件sina≠sin2a和cos&≠cs2a,所以ana=n0 cos a ±(a+受ez小综上可得，ma=号枚选C 8.BCD解析：已知y=sin2x-cos2x=-cos2x,令2kT≤2x≤2hT+T(k∈ Z),解不等式得知≤≤红+受(eZ),所以函数单调递增区间是 [,+号](keZ),放A选项错误：y=mx 黑白题051 即.s=5000w3 确：因为（于）=m(行）=x,即/（于-）小）.所 S=50003 3 以函数八)的图象和函数()的图象关于直线x=牙对称，故 50003W3 3 2 C选项正确：已知g(x)=f(x-p）=sin2(x-p)=1-ous(2-2p).又 2 3 (204） 50005/3 g)=1+o2x,则-os(2x-29）=1+e24,即s（2x-2p）+ 2 1 2 205(停m29rm2-） 3 cos2x=0.根据两角和差公式，c0s(2x-2p)=cos2.xcos2p+ sin2xsin2p,整理得sin2psin2x+(cos2p+1)cos2x=0.因为该等式对 任意x都成立，所以s血20=0， 20((））】 3 i {cs29+10.由im20=0得2p=km,9=2 2500 (keZ),由cs29+1=0得cms29=-1,24=2km+m,9=km+7(ke 3 0）120 3 则s=25003 Z).又p>0,综合可得p=km+(keN,D选项正确 3 m(2+6）120 3 .0c (2)设阴影部分面积为S翻些，扇形空地AOB面积为S嘲形，则 3.2或；解折：由9um2a=4m(a+子）可得8 1-tan2a =↓x7x502=1250 S阴影=5前形-S.并且S形=2X3 3T. 4n0,故2ma-5uma+2=0.故mu=2或ma=7,故 1-tan a 则SE=1250n2505 3 3 sin20+π）+1250 6 3 ,00 3 m(am)=ma=2或了 则P=6S形=6(1250.25003n 3sin20+π） +1250w3 3 6 3 10.5解析：由a√2+2cos2C=b,可得a√2+2(2cs2C-1)=b, 即2 acos C=b,即2 sin Acos C=sinB=sin(A+C),即sin Acos C -500w3sim(20+元）+2500m+25003,则W=-5000w5sim20+ 6 sin G=0,化简可得sm(A-G)=0又-号<A-C<号，可得A=C, ）+250m+250o5.0c0c号 T 由bsin C=csin2B,可得sin Bsin C=2 sin Csin Bcos B,因为sinB≠ 0,snC≠0.所以cmsB=了，即B=号，所以锐角三角形ABC为等边 因为00<行，所以名<20+<则当20 6 三角形，所以面积为分×2x2X血号-5 时，-50w5n(20:石）取得最小值，则总费用F取得最小值 1架：函数如5a=号2 2(1+ms2x)= 求得Wm=-50005+2500m+25005=2500π-25005= 2500(T-√3). +2s24 2 sin 2x+3 m(号） 压轴挑战 (1)解：sin3a=sin(2a+a）=sin2 acos a+cos2asin=2 sin ocos2+ 所以)的最小正周期为T:? (1-2sin2a)sin a=2sin a(1-sin2a)+sin a-2sin a 2sin a-2sina+ sin a-2sin a=3sin a-4sina. 令2+=eZ解得=石keZ。 (2)解：由(1）得sma-3sina-sim30,sm3126+sin6°-sim66°- 4 sin 18 所以)的对称中心的坐标为（任云号），e又 3sin 126-sin 378+3sin 6-sin 18-3sin 66+sin 198 4sin18° 3sin(120°+6°)-sin18°+3sin6°-sin18°-3sin(60°+6°)-sin18° 4sin 18 1-2m(2号）1-2(）广 33 2c0s6°- sin -sin in 3 3 2cws6°-2in6 3sin 18 4sin 180 4sin18° 所以m(40+石）=-m[(40+石）+受]=-m(40 4 ) (3)证明：因为36°+54°=90°，所以sin36°=cos54°，即sin(2×18)= cos(3×18°)，可得2sin18°cos18°=4c0s318°-3c0s18°.因为cos18≠0， 12解：(L)在△0PN中，∠OP=2,∠0PN=-0, 所以2sin18°=4c0s218°-3,8sin318o-4sin18°+1=6sin18°-2sin54°- 4sin18°+1=4c0s218°-3-2c0s36°+1=4c0s218°-3-2c0s218°+2sim218°+ 由正弦定理得，八 OP s50 ,即 1=0. 3.2半角公式 白题 基础过关 1-cos 则s=2m=0.0N0=50x093(s血0= 1.B解析：im2√ T 6 2 4-235- 2 =2 =N8 22 √6-√2 4 必修第二册·BS黑白题052§3二倍角的三角函数公式 子错 3.1二倍角公式 本 白题 基础过关 限时：25min 题组1给角求值 7.*（2025·广东深圳高一期中)化简 1.·(多选)以下化简正确的有 6 A.sin 15cos 15=2 果是 8sin27=2 B.cos2 8.苏教教材习题证明下列恒等式： 82 tan22.5°1 (1)1 1 C. tan 0 tan 20 sin 20' 1-tan222.5°2 1+sin 20-cos 20 D.1-2sin22.5°=y2 (2)1+sin20+cos20 =tan 0. 2.(2025·河北邢台高一月考) tan12°-√/3 sin12°-2sin312° 题组2条件求值 3.·(2025·江西九江高一期末)已知(1,2) 是角x终边上一点，则tan2a= 重难聚焦 A.、4 c. 4 D. 题组4倍角公式的综合应用 3 3 4.(2025·江西南昌高一期中)若cos(a- 9.*(2025·山西晋中高一月考) 在△ABC中，角A,B,C对的边分 )则2 别为a,b,c若=osB 则△ABC的形状为 b cos A' A.3 c D.- ( A.等边三角形 B.直角三角形 5.*(2025·辽宁省实验中学高一期中)已知 C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 ana=2,则+cos2a+8sina的f值为 10.*(2025·湖南长沙高一月考)函数 sin 2a 题组3利用倍角公式化简、证明 f(x)=cos2x·tanx的最小正周期 是 6.*(2025·湖北武汉高一期中)若0<a<4, 11.**（2025·江苏徐州高一月 考)若关于x的方程cos2x+ 讲解 则 111 cos 4a 22N22 cosx=m有解，则实数m的取值范围 是 A.sin a B.-sin a C.cos a D.-cos a 必修第二册·BS黑白题082 黑题 应用提优 限时：45min 1.*(多选)(2025·辽宁沈阳高一期中)已 6.(2025·江苏宿迁高一月考)“x>1 是 知sin2a>2tana,则a可能是 ( A.第一象限角 B.第二象限角 T “x>c0s co 2m4T"的 9 C.第三象限角 D.第四象限角 2.(2025·山东省实验中学高一月考)在 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. C.充要条件 若2sinB=a-c,则该三角形一定是（) 2 D.既不充分也不必要条件 a A.正三角形 7.*(2024·吉林长春高一期中)已知≠ B.直角三角形 2,kEZ,集合A=sin a,sin2a,B= kT C.等腰直角三角形 {cosa,cos2a},若A=B,则tana=（) D.等腰三角形 A.1 B.±1 3.*(2025·天津和平区高一期中)已知 ma=3amg=-7,且c,Be(0,m), 1 C. 3 8.*(多选)(2025·河南驻马店高一月考)已 则2ax-B= 知函数f(x)=sin2x,g(x)=cos2x,则（) A B.- T 4 A.函数y=f(x)-g(x)的单调递增区间为 C.、3m [kw-2.km](keZ) 4 n好 4.**(2025·浙江杭州学军中学高一月考)公 B.函数y=x)g(x)的最小正周期为 元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究 C.函数f(x)的图象和函数g(x)的图象关于直 过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618 就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的 线x对称 发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+ D.若将函数fx)的图象向右平移p(p>0)个 6=4,则2 单位长度得到函数g(x)的图象，可得 a"b 1 A.2 1 B. 2 C.-1 e+受keN D.1 9.*(2025·四川雅安高一月考)若9tan2α= 5.*(2025·浙江湖州高一期末)若sinx+ cosx=2cosa,sin xcos x=sin2B,则(（) 4an(a+牙)，则an(atm)归 A.cos 2a+2cos 2B=0 10.**(2025·江西吉安高一月考)在锐角三 B.2cos 2a+cos 28=0 角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若 C.cos 2a-2cos 28=0 a√2+2cos2C=b,b=2,bsin C=csin2B,则 D.2cos 2a-cos 28=0 △ABC的面积为 第四章黑白题083 11.整(2025·广东佛山高一月考)已知函数 压轴挑战 f(x)=sin xcos x+3cos2x. 麟(2025·江苏苏州高一月考)通过两角和 (1)求f(x)的最小正周期与对称中心的 的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍 坐标； 角公式.例如： (2)若f0)=0,求si(40+)的值， cos 3a=cos(2a+a)=cos 2acos a-sin 2asin a =(2cos2a-1)cos a-2sin2acos a =4cosa-3cos a (1)根据上述过程，推导出sin3a关于sina的 表达式； (2)求in126°+sin26°-sin6 的值； sin 18 (3)求证：sin18°是方程8x3-4x+1=0的 一个根 12.转北师教材变式(2025·黑龙江哈尔滨三中 高一月考)已知教学楼下有一块扇形区域， 拟对这块扇形空地AOB进行改造.如图所 示，平行四边形OMPN区域为学生的休息区 域，阴影区域为“绿植”区域，点P在弧AB 上，点M和点N分别在线段OA和线段OB 上，且0A=50m,∠A0B=写，设∠P0B=0 (1)请用0表示线段0N的长度，并写出学生 的休息区域OMPN的面积S关于0的函 数关系式； (2)拟在阴影区域种植一些花草，费用为 6元/m2,求总费用W关于0的函数关系 式，并求其最小值. 必修第二册·BS黑白题084