第4章 §2 2.4 积化和差与和差化积公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．sin 15°sin 75°的值为 (　　) A． B． C． D．－ 解析：选B.原式＝－[cos (15°＋75°)－cos (15°－75°)]＝－[cos 90°－cos (－60°)]＝－×＝. 2．sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝ (　　) A． B． C． D．1 解析：选C.sin 20°＋sin 40°＋ sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80°＝2××sin 80°＋－sin 80°＝.故选C. 3．函数f(x)＝2sin ·sin 的最大值是 (　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.f(x)＝2sin ·sin ＝2×(－)[cos (＋－)－cos (－＋)]＝－cos ＋cos ＝－＋cos ，又cos ∈[－1，1]，所以f(x)∈，即f(x)的最大值为.故选A. 4．在△ABC中，若B＝45°，则cos A sin C的取值范围是 (　　) A．[－1，1] B． C． D． 解析：选B.在△ABC中，B＝45°，所以cos A sin C＝[sin (A＋C)－sin (A－C)]＝[sin B－sin (A－C)]＝－sin (A－C).因为－1≤sin (A－C)≤1，所以≤cos A sin C≤.故选B. 5．函数y＝cos x cos 的最小正周期为 (　　) A．4π B．2π C．π D． 解析：选C.y＝cos x cos ＝ ＝cos ＋，故函数的最小正周期T＝＝π.故选C. 6．(多选)下列四个关系式中错误的是 (　　) A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C．sin 5θ－sin 3θ＝2cos 4θsin θ D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ 解析：选BD.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin cos ＝2sin 4θcos θ，A正确； cos 3θ－cos 5θ＝－2sin sin ＝2sin 4θsin θ，B错误； sin 5θ－sin 3θ＝2cos sin ＝2cos 4θsin θ，C正确； sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin ＝2sin cos ，D错误．故选BD. 7．若cos x cos y＋sin x sin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin (x＋y)＝____________． 解析：因为cos x cos y＋sin x sin y＝，所以cos (x－y)＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin (x＋y)cos (x－y)＝.所以2sin (x＋y)×＝，所以sin (x＋y)＝. 答案： 8．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝________． 解析：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝[sin (20°＋70°)＋sin (20°－70°)]－[cos (10°＋50°)－cos (10°－50°)] ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. 答案： 9．求值：cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝___________. 解析：cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° ＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°) ＝2××cos 26°＋＋cos 26° ＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－. 答案：－ 10．(13分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos B＋cos C＝sin B＋sin C，试判断△ABC的形状． 解：由cos B＋cos C＝sin B＋sin C， 得2cos cos ＝2sin cos ， 在△ABC中，B－C≠π，故≠， 所以cos 的值不为0， 两边同除以2cos ， 得sin ＝cos ，即tan ＝1， 因为0<B＋C<π，所以0<<， 所以＝，所以B＋C＝， 所以A＝，所以△ABC为直角三角形． 11．若x＋y＝1，则sin x＋sin y与1的大小关系是 (　　) A．sin x＋sin y>1 B．sin x＋sin y＝1 C．sin x＋sin y<1 D．不确定 解析：选C.因为sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin cos ，又0<<<，所以sin <sin ， 所以2sin <2sin ＝1. 所以sin x＋sin y＝2sin cos ≤2sin <2sin ＝1. 12．(多选)若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α，β∈(0，π)，则下列结论中正确的是 (　　) A．α－β＝－ B．α－β＝ C．tan ＝ D．tan ＝－ 解析：选BC.因为sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，所以2sin cos ＝(－2·sin ·sin )，因为α，β∈(0，π)，所以∈(0，π)，∈(－，)，从而sin ≠0，所以tan ＝，所以＝，从而α－β＝.故选BC. 13．已知cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin (α－β)＝__________． 解析：cos2α－cos2β ＝(cosα＋cos β)(cos α－cos β) ＝2cos cos ＝－2sin cos ·2sin cos ＝－[sin (α＋β)＋sin 0]·[sin (α－β)＋sin 0] ＝－sin (α＋β)sin (α－β)＝m. 所以sin (α＋β)sin (α－β)＝－m. 答案：－m 14．(13分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋2cos ＋1. (1)求f的值；(6分) (2)求函数f(x)的单调区间．(7分) 解：(1)因为f(x)＝2cos 2x＋2cos ＋1 ＝4cos cos ＋1 ＝－2cos ＋1 ＝－2cos ＋1 ＝2sin ＋1， 所以f＝2sin ＋1＝＋1. (2)由(1)知f(x)＝2sin ＋1， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z). 15．(15分)已知f(x)＝sin 2x－2cos ·cos . (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(6分) (2)当x∈[0，π]时，若f(x)∈(－1，1]，求x的取值范围．(9分) 解：(1)因为f(x)＝sin 2x－2×[cos (x－＋x＋)＋cos ]＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin ，所以T＝＝π， 即f(x)的最小正周期为π. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. (2)令2sin ＝1，有sin ＝， 即2x－＝＋2kπ，k∈Z或2x－＝＋2kπ，k∈Z， 可得x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z. 因为x∈[0，π]，所以x＝或x＝. 令2sin ＝－1， 得sin ＝－， 即2x－＝－＋2kπ，k∈Z或2x－＝－＋2kπ，k∈Z，可得x＝kπ，k∈Z或x＝－＋kπ，k∈Z. 因为x∈[0，π]，所以x＝0或x＝π或x＝. 又f(x)在[0，π]上的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以当f(x)∈(－1，1]时，x的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $